Em cada um dos Problemas 1 a 8 :
G a. Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.
b. Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores grandes de .
c. Encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quando .
5.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos passa uma equação diferencial de primeira ordem: . A gente precisa:
a. Desenhar o campo de direções para essa equação.
b. Analisar como as soluções se comportam quando fica grande.
c. Encontrar a solução geral da equação e ver como ela se comporta quando tende ao infinito.

Passo 2

a. Desenhar o campo de direções
Primeiro, vamos entender o que é um campo de direções. É tipo um mapa que mostra a inclinação da solução em vários pontos . Para isso, a gente precisa rearranjar a equação para isolar :
Agora, para vários valores de e , calculamos a inclinação e representamos isso no gráfico. Por exemplo:
  • Se e :
  • Se e :
  • Se e :
Isso nos dá várias inclinações que ajudam a visualizar como as soluções se comportam no plano.

Passo 3

b. Com base no campo de direções, descrever o comportamento das soluções para valores grandes de
Observando o campo de direções, percebemos que conforme aumenta, o termo domina na equação . Isso significa que, para grande, a inclinação tende a crescer porque fica muito maior que .
Portanto, as soluções vão crescer rapidamente à medida que aumenta, aproximadamente seguindo o comportamento de .

Passo 4

c. Encontrar a solução geral da equação diferencial e determinar o comportamento das soluções quando
Vamos resolver a equação diferencial:
Primeiro, colocamos na forma padrão de equação linear:
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é:
Multiplicamos toda a equação por :
O lado esquerdo agora é a derivada de :
Integrando ambos os lados:
Resolvendo a integral por partes ou usando tabelas de integrais, obtemos:
Dividindo por :
Aqui, é a constante de integração que será determinada pelas condições iniciais.
Quando , o termo tende a zero, então a solução se comporta como:
Isso confirma que para valores grandes de , as soluções crescem como um polinômio de segundo grau, alinhando-se com a análise do campo de direções.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Para , a solução se comporta como , ou seja, cresce quadraticamente.

Exercícios relacionados

Em cada um dos Problemas 16 a 18, determine a ordem da equação diferencial e diga se ela é linear ou não linear. Derivadas parciais são denotadas por índices.
16.
  1. Considere a equação diferencial
em que e são números positivos.
a. Encontre a solução geral da equação diferencial.
Nos Problemas 14 e 15, determine os valores de para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma para .
15.
Considere a função dada pela tabela:
e o polinômio .
Verifique que .