Em cada um dos Problemas 1 a 8 :
G a. Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.
b. Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores grandes de
.
c. Encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quando
.
5.
G a. Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.
b. Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores grandes de
c. Encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quando
5.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos passa uma equação diferencial de primeira ordem:
. A gente precisa:
a. Desenhar o campo de direções para essa equação.
b. Analisar como as soluções se comportam quando
fica grande.
c. Encontrar a solução geral da equação e ver como ela se comporta quando
tende ao infinito.
Passo 2
a. Desenhar o campo de direções
Primeiro, vamos entender o que é um campo de direções. É tipo um mapa que mostra a inclinação da solução em vários pontos
. Para isso, a gente precisa rearranjar a equação para isolar
:
Agora, para vários valores de
e
, calculamos a inclinação
e representamos isso no gráfico. Por exemplo:
- Se
e : - Se
e : - Se
e :
Isso nos dá várias inclinações que ajudam a visualizar como as soluções se comportam no plano.
Passo 3
b. Com base no campo de direções, descrever o comportamento das soluções para valores grandes de
Observando o campo de direções, percebemos que conforme
aumenta, o termo
domina na equação
. Isso significa que, para
grande, a inclinação
tende a crescer porque
fica muito maior que
.
Portanto, as soluções vão crescer rapidamente à medida que
aumenta, aproximadamente seguindo o comportamento de
.
Passo 4
c. Encontrar a solução geral da equação diferencial e determinar o comportamento das soluções quando
Vamos resolver a equação diferencial:
Primeiro, colocamos na forma padrão de equação linear:
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é:
Multiplicamos toda a equação por
:
O lado esquerdo agora é a derivada de
:
Integrando ambos os lados:
Resolvendo a integral por partes ou usando tabelas de integrais, obtemos:
Dividindo por
:
Aqui,
é a constante de integração que será determinada pelas condições iniciais.
Quando
, o termo
tende a zero, então a solução se comporta como:
Isso confirma que para valores grandes de
, as soluções crescem como um polinômio de segundo grau, alinhando-se com a análise do campo de direções.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Para
, a solução se comporta como
, ou seja, cresce quadraticamente.
Exercícios relacionados
Em cada um dos Problemas 16 a 18, determine a ordem da equação diferencial e diga se ela é linear ou não linear. Derivadas parciais são denotadas por índices.
16.
16.
- Considere a equação diferencial
em que
e
são números positivos.
a. Encontre a solução geral da equação diferencial.
a. Encontre a solução geral da equação diferencial.
Nos Problemas 14 e 15, determine os valores de
para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma
para
.
15.
15.
Considere a função
dada pela tabela:
e o polinômio
.
Verifique que .
Verifique que