Em cada um dos Problemas 9 a 16:
c. Determine (pelo menos aproximadamente) o intervalo no qual a solução está definida.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma equação diferencial: com a condição inicial . Nosso objetivo aqui é descobrir em qual intervalo essa solução é válida. Para isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais separáveis e analisar onde a solução faz sentido matematicamente.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis na equação. Isso significa reorganizar a equação para ter todos os termos de de um lado e os de do outro. A gente tem:
Dividindo ambos os lados por e multiplicando por , fica:

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados. A gente integra com relação a no lado esquerdo e com relação a no lado direito:
Integrando, obtemos:

Passo 4

Vamos resolver para . Primeiro, isolamos :
Podemos reescrever como uma constante qualquer, então simplificamos para:
Invertendo ambos os lados, temos:

Passo 5

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e :
Então:

Passo 6

Substituindo na expressão de , temos:

Passo 7

Agora, precisamos determinar onde essa solução está definida. A função está definida quando o denominador não é zero. Então, resolvemos:
Usando a fórmula quadrática:

Passo 8

Os pontos e são onde a solução não está definida. Como nossa condição inicial é , que está entre -2 e 3, o intervalo onde a solução está definida é:

Resposta

A solução está definida aproximadamente no intervalo .

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Considere a região delimitada pelos gráficos de e para . Determine o volume do sólido formado pela rotação dessa região em torno do eixo das abscissas (veja a figura a seguir).
Determine a área da região hachurada, delimitada pelas curvas .
Em cada um dos Problemas 9 a 16:
(G) b. Desenhe o gráfico da solução.
Em cada um dos Problemas 9 a 16:
c. Determine (pelo menos aproximadamente) o intervalo no qual a solução está definida.