Em cada um dos Problemas 9 a 16:
c. Determine (pelo menos aproximadamente) o intervalo no qual a solução está definida.
c. Determine (pelo menos aproximadamente) o intervalo no qual a solução está definida.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma equação diferencial:
com a condição inicial
. Nosso objetivo aqui é descobrir em qual intervalo essa solução é válida. Para isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais separáveis e analisar onde a solução faz sentido matematicamente.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis na equação. Isso significa reorganizar a equação para ter todos os termos de
de um lado e os de
do outro. A gente tem:
Dividindo ambos os lados por
e multiplicando por
, fica:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados. A gente integra com relação a
no lado esquerdo e com relação a
no lado direito:
Integrando, obtemos:
Passo 4
Vamos resolver para
. Primeiro, isolamos
:
Podemos reescrever
como uma constante qualquer, então simplificamos para:
Invertendo ambos os lados, temos:
Passo 5
Agora, vamos usar a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
:
Então:
Passo 6
Substituindo
na expressão de
, temos:
Passo 7
Agora, precisamos determinar onde essa solução está definida. A função
está definida quando o denominador
não é zero. Então, resolvemos:
Usando a fórmula quadrática:
Passo 8
Os pontos
e
são onde a solução não está definida. Como nossa condição inicial é
, que está entre -2 e 3, o intervalo onde a solução está definida é:
Resposta
A solução está definida aproximadamente no intervalo
.
Exercícios relacionados
Considere a região delimitada pelos gráficos de
e
para
. Determine o volume do sólido formado pela rotação dessa região em torno do eixo das abscissas (veja a figura a seguir).
Determine a área da região hachurada, delimitada pelas curvas
.
Em cada um dos Problemas 9 a 16:
(G) b. Desenhe o gráfico da solução.
(G) b. Desenhe o gráfico da solução.
Em cada um dos Problemas 9 a 16:
c. Determine (pelo menos aproximadamente) o intervalo no qual a solução está definida.
c. Determine (pelo menos aproximadamente) o intervalo no qual a solução está definida.