Determine a área da região hachurada, delimitada pelas curvas .

Passo 1

Beleza! O enunciado pede para a gente encontrar a área da região hachurada que está limitada pelas curvas , , e . Basicamente, vamos usar cálculo para determinar essa área, usando integração para achar a área entre as curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como essas curvas se comportam no gráfico. As equações e são parábolas que abrem pra cima e pra baixo, respectivamente. Já e também são parábolas, mas abrem pra direita e pra esquerda. Isso vai criar uma figura simétrica no plano XY.

Passo 3

Agora, precisamos achar os pontos onde essas curvas se intersectam. Vamos resolver os sistemas de equações:
  1. e :
    Substituindo de uma na outra: .
    Resolvendo: ou .
    Então, os pontos de interseção são e .
  2. e :
    Seguindo o mesmo processo: .
    Resolvendo: ou .
    Os pontos de interseção são e .

Passo 4

Com os pontos de interseção, podemos dividir a área hachurada em duas partes simétricas, uma para e outra para . Vamos calcular uma parte e dobrar o resultado.
Para , os limites de integração vão de a . As curvas que delimitam essa região são (à direita) e (à esquerda, mas como estamos considerando , focamos nessa parte).
A área pode ser calculada pela integral:
Aqui, multiplicamos por 2 por causa da simetria.

Passo 5

Vamos resolver a integral:

Resposta

A área da região hachurada é unidades de área.

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c. Determine (pelo menos aproximadamente) o intervalo no qual a solução está definida.