Determine a área da região hachurada, delimitada pelas curvas
.
Passo 1
Beleza! O enunciado pede para a gente encontrar a área da região hachurada que está limitada pelas curvas
,
,
e
. Basicamente, vamos usar cálculo para determinar essa área, usando integração para achar a área entre as curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como essas curvas se comportam no gráfico. As equações
e
são parábolas que abrem pra cima e pra baixo, respectivamente. Já
e
também são parábolas, mas abrem pra direita e pra esquerda. Isso vai criar uma figura simétrica no plano XY.
Passo 3
Agora, precisamos achar os pontos onde essas curvas se intersectam. Vamos resolver os sistemas de equações:
-
e :
Substituindode uma na outra: → .
Resolvendo:→ → ou .
Então, os pontos de interseção sãoe . -
e :
Seguindo o mesmo processo:→ .
Resolvendo:→ → ou .
Os pontos de interseção sãoe .
Passo 4
Com os pontos de interseção, podemos dividir a área hachurada em duas partes simétricas, uma para
e outra para
. Vamos calcular uma parte e dobrar o resultado.
Para
, os limites de integração vão de
a
. As curvas que delimitam essa região são
(à direita) e
(à esquerda, mas como estamos considerando
, focamos nessa parte).
A área
pode ser calculada pela integral:
Aqui, multiplicamos por 2 por causa da simetria.
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Resposta
A área da região hachurada é
unidades de área.
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e
, e pela função
, em que a densidade
.
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e
para
. Determine o volume do sólido formado pela rotação dessa região em torno do eixo das abscissas (veja a figura a seguir).
Em cada um dos Problemas 9 a 16:
c. Determine (pelo menos aproximadamente) o intervalo no qual a solução está definida.
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