Considere a região delimitada pelos gráficos de
e
para
. Determine o volume do sólido formado pela rotação dessa região em torno do eixo das abscissas (veja a figura a seguir).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que é formado ao girar a região limitada pelas curvas
e
, no intervalo de
de 0 a 1, em torno do eixo das abscissas (o eixo
). Para isso, vamos usar o cálculo de volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual método usar. Como estamos girando em torno do eixo
, o método dos discos é adequado aqui. Esse método envolve integrar a área de círculos infinitamente pequenos (discos) que compõem o sólido.
A fórmula geral para o volume
usando o método dos discos é:
Onde:
-
é uma constante. -
é a função que define a borda do sólido. -
e são os limites de integração.
Passo 3
Aplicando essa fórmula ao nosso caso, temos:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, precisamos resolver a integral
. Para isso, usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo:
Simplificando a segunda integral:
Então, substituindo de volta:
Agora, avaliando de 0 a 1:
Resposta
Então, o volume do sólido formado é:
Exercícios relacionados
Determine a área da região hachurada, delimitada pelas curvas
.
Determine a massa da uma lâmina limitada pelas retas
e
, e pela função
, em que a densidade
.
Em cada um dos Problemas 9 a 16:
c. Determine (pelo menos aproximadamente) o intervalo no qual a solução está definida.
c. Determine (pelo menos aproximadamente) o intervalo no qual a solução está definida.
Em cada um dos Problemas 9 a 16:
(G) b. Desenhe o gráfico da solução.
(G) b. Desenhe o gráfico da solução.