Considere a região delimitada pelos gráficos de y = raiz(x * tg^{-1}(x)) e y = 0 para 0 <= x <= 1. Determine o volume do sólido formado pela rotação dessa região em torno do eixo das abscissas (veja a figura a seguir).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que é formado ao girar a região limitada pelas curvas e , no intervalo de de 0 a 1, em torno do eixo das abscissas (o eixo ). Para isso, vamos usar o cálculo de volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual método usar. Como estamos girando em torno do eixo , o método dos discos é adequado aqui. Esse método envolve integrar a área de círculos infinitamente pequenos (discos) que compõem o sólido.
A fórmula geral para o volume usando o método dos discos é:
Onde:
  • é uma constante.
  • é a função que define a borda do sólido.
  • e são os limites de integração.

Passo 3

Aplicando essa fórmula ao nosso caso, temos:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral . Para isso, usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo:
Simplificando a segunda integral:
Então, substituindo de volta:
Agora, avaliando de 0 a 1:

Resposta

Então, o volume do sólido formado é:

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