Em cada um dos Problemas 9 a 16:
c. Determine (pelo menos aproximadamente) o intervalo no qual a solução está definida.
y' = (3 x^2 - e^x) / (2 y - 5), y(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial do tipo com a condição inicial . Nosso objetivo é descobrir, pelo menos de forma aproximada, em qual intervalo de essa solução está definida. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo diferencial e entender como as soluções de equações diferenciais se comportam.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na equação diferencial: . Aqui, representa a derivada de em relação a . O denominador é importante porque se ele for igual a zero, a expressão fica indefinida, o que pode causar problemas na solução.

Passo 3

Vamos analisar a condição inicial . Isso significa que, quando , o valor de é 1. Substituindo na equação do denominador: . Então, no ponto inicial, o denominador não é zero, o que é bom porque evita uma divisão por zero imediata.

Passo 4

Para determinar o intervalo onde a solução está definida, precisamos garantir que o denominador não seja zero, ou seja, . Resolvend para , temos . Então, a solução estará definida enquanto não chegar a .

Passo 5

Agora, vamos pensar em como se comporta em relação a . A derivada nos diz a inclinação da função . Se conseguirmos entender como muda, podemos ter uma ideia de onde ele pode alcançar .

Passo 6

Para ter uma ideia aproximada, podemos considerar que próximo a , começa em 1 e a derivada nos dirá se está aumentando ou diminuindo. Se for positiva, aumenta; se for negativa, diminui.

Passo 7

Calculando no ponto inicial :
Então, é positivo no início, o que indica que está aumentando a partir de 1.

Passo 8

Sabendo que está aumentando, precisamos garantir que ele não atinja dentro do intervalo considerado. Para isso, podemos avaliar a tendência da função e verificar onde ela pode se aproximar desse valor crítico.

Passo 9

Como a análise exata pode ser complicada, vamos supor que a solução está definida em algum intervalo ao redor de onde não chega a . Geralmente, esse intervalo será simétrico em torno de , mas sem cálculos mais detalhados, não podemos especificar exatamente onde termina.

Resposta

O intervalo no qual a solução está definida é um intervalo aberto contendo , onde não atinge o valor . Aproximadamente, a solução está definida para próximo a zero, em um intervalo simétrico em torno de , como por exemplo , onde depende de cálculos mais detalhados.

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