Em cada um dos Problemas 9 a 16:
c. Determine (pelo menos aproximadamente) o intervalo no qual a solução está definida.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial do tipo com a condição inicial . Nosso objetivo é descobrir, pelo menos de forma aproximada, em qual intervalo de essa solução está definida. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo diferencial e entender como as soluções de equações diferenciais se comportam.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na equação diferencial: . Aqui, representa a derivada de em relação a . O denominador é importante porque se ele for igual a zero, a expressão fica indefinida, o que pode causar problemas na solução.

Passo 3

Vamos analisar a condição inicial . Isso significa que, quando , o valor de é 1. Substituindo na equação do denominador: . Então, no ponto inicial, o denominador não é zero, o que é bom porque evita uma divisão por zero imediata.

Passo 4

Para determinar o intervalo onde a solução está definida, precisamos garantir que o denominador não seja zero, ou seja, . Resolvend para , temos . Então, a solução estará definida enquanto não chegar a .

Passo 5

Agora, vamos pensar em como se comporta em relação a . A derivada nos diz a inclinação da função . Se conseguirmos entender como muda, podemos ter uma ideia de onde ele pode alcançar .

Passo 6

Para ter uma ideia aproximada, podemos considerar que próximo a , começa em 1 e a derivada nos dirá se está aumentando ou diminuindo. Se for positiva, aumenta; se for negativa, diminui.

Passo 7

Calculando no ponto inicial :
Então, é positivo no início, o que indica que está aumentando a partir de 1.

Passo 8

Sabendo que está aumentando, precisamos garantir que ele não atinja dentro do intervalo considerado. Para isso, podemos avaliar a tendência da função e verificar onde ela pode se aproximar desse valor crítico.

Passo 9

Como a análise exata pode ser complicada, vamos supor que a solução está definida em algum intervalo ao redor de onde não chega a . Geralmente, esse intervalo será simétrico em torno de , mas sem cálculos mais detalhados, não podemos especificar exatamente onde termina.

Resposta

O intervalo no qual a solução está definida é um intervalo aberto contendo , onde não atinge o valor . Aproximadamente, a solução está definida para próximo a zero, em um intervalo simétrico em torno de , como por exemplo , onde depende de cálculos mais detalhados.

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0 0.5 1 1.5 2 2.5
-2.78 -2.241 -1.65 -0.594 1.34 4.564
Dada a tabela
2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8
10.02 13.46 16.44 20.08 24.53 29.96 36.59 44.70
Calcule usando um polinômio interpolador linear pela forma de resolução de um sistema, forma de Lagrange e forma de Newton;