Em cada um dos Problemas 9 a 16:
c. Determine (pelo menos aproximadamente) o intervalo no qual a solução está definida.
c. Determine (pelo menos aproximadamente) o intervalo no qual a solução está definida.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial do tipo
com a condição inicial
. Nosso objetivo é descobrir, pelo menos de forma aproximada, em qual intervalo de
essa solução está definida. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo diferencial e entender como as soluções de equações diferenciais se comportam.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na equação diferencial:
. Aqui,
representa a derivada de
em relação a
. O denominador
é importante porque se ele for igual a zero, a expressão fica indefinida, o que pode causar problemas na solução.
Passo 3
Vamos analisar a condição inicial
. Isso significa que, quando
, o valor de
é 1. Substituindo na equação do denominador:
. Então, no ponto inicial, o denominador não é zero, o que é bom porque evita uma divisão por zero imediata.
Passo 4
Para determinar o intervalo onde a solução está definida, precisamos garantir que o denominador
não seja zero, ou seja,
. Resolvend para
, temos
. Então, a solução estará definida enquanto
não chegar a
.
Passo 5
Agora, vamos pensar em como
se comporta em relação a
. A derivada
nos diz a inclinação da função
. Se conseguirmos entender como
muda, podemos ter uma ideia de onde ele pode alcançar
.
Passo 6
Para ter uma ideia aproximada, podemos considerar que próximo a
,
começa em 1 e a derivada
nos dirá se
está aumentando ou diminuindo. Se
for positiva,
aumenta; se for negativa,
diminui.
Passo 7
Calculando
no ponto inicial
:
Então,
é positivo no início, o que indica que
está aumentando a partir de 1.
Passo 8
Sabendo que
está aumentando, precisamos garantir que ele não atinja
dentro do intervalo considerado. Para isso, podemos avaliar a tendência da função e verificar onde ela pode se aproximar desse valor crítico.
Passo 9
Como a análise exata pode ser complicada, vamos supor que a solução está definida em algum intervalo ao redor de
onde
não chega a
. Geralmente, esse intervalo será simétrico em torno de
, mas sem cálculos mais detalhados, não podemos especificar exatamente onde termina.
Resposta
O intervalo no qual a solução está definida é um intervalo aberto contendo
, onde
não atinge o valor
. Aproximadamente, a solução está definida para
próximo a zero, em um intervalo simétrico em torno de
, como por exemplo
, onde
depende de cálculos mais detalhados.
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(G) b. Desenhe o gráfico da solução.
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Construa a tabela das diferenças divididas com os dados abaixo e estime o valor de
(1.23) utilizando um polinômio interpolador de grau 4. Em seguida, encontre o erro cometido.
|
0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 |
---|---|---|---|---|---|---|
|
-2.78 | -2.241 | -1.65 | -0.594 | 1.34 | 4.564 |
Dada a tabela
|
2.4 | 2.6 | 2.8 | 3.0 | 3.2 | 3.4 | 3.6 | 3.8 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
10.02 | 13.46 | 16.44 | 20.08 | 24.53 | 29.96 | 36.59 | 44.70 |
Calcule
usando um polinômio interpolador linear pela forma de resolução de um sistema, forma de Lagrange e forma de Newton;