Em cada um dos Problemas 9 a 16:
(G) b. Desenhe o gráfico da solução.
y' = (1 - 2x) y^2, y(0) = -1/6

Passo 1

Beleza, galera! A gente vai resolver uma equação diferencial aqui. O enunciado nos dá a equação e uma condição inicial . Isso significa que quando , o valor de é . Vamos precisar usar métodos de separação de variáveis para resolver essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial separável. É uma equação onde a variável e sua derivada podem ser separadas em lados diferentes da equação. Nosso objetivo é isolar de um lado e do outro.

Passo 3

Vamos reescrever a equação como . Agora, vamos separar as variáveis multiplicando ambos os lados por e por :

Passo 4

Agora, integramos ambos os lados. A integral do lado esquerdo é igual a , e a integral do lado direito é igual a . Então:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Vamos resolver para . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por :
Podemos renomear como apenas (a constante ainda é uma constante arbitrária):
Então, isolando :

Passo 6

Agora, vamos aplicar a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e na equação:
Resolvendo para :

Passo 7

Com o valor de encontrado, substituímos de volta na equação de :

Resposta

A solução da equação diferencial é . O gráfico dessa função apresenta assíntotas onde o denominador é zero, ou seja, em e . Para desenhar o gráfico, plotamos a função considerando esses pontos e observamos o comportamento de nas diferentes regiões definidas pelas assíntotas.

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