Em cada um dos Problemas 9 a 16:
(G) b. Desenhe o gráfico da solução.

Passo 1

Beleza, galera! A gente vai resolver uma equação diferencial aqui. O enunciado nos dá a equação e uma condição inicial . Isso significa que quando , o valor de é . Vamos precisar usar métodos de separação de variáveis para resolver essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial separável. É uma equação onde a variável e sua derivada podem ser separadas em lados diferentes da equação. Nosso objetivo é isolar de um lado e do outro.

Passo 3

Vamos reescrever a equação como . Agora, vamos separar as variáveis multiplicando ambos os lados por e por :

Passo 4

Agora, integramos ambos os lados. A integral do lado esquerdo é igual a , e a integral do lado direito é igual a . Então:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Vamos resolver para . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por :
Podemos renomear como apenas (a constante ainda é uma constante arbitrária):
Então, isolando :

Passo 6

Agora, vamos aplicar a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e na equação:
Resolvendo para :

Passo 7

Com o valor de encontrado, substituímos de volta na equação de :

Resposta

A solução da equação diferencial é . O gráfico dessa função apresenta assíntotas onde o denominador é zero, ou seja, em e . Para desenhar o gráfico, plotamos a função considerando esses pontos e observamos o comportamento de nas diferentes regiões definidas pelas assíntotas.

Exercícios relacionados

Em cada um dos Problemas 9 a 16:
c. Determine (pelo menos aproximadamente) o intervalo no qual a solução está definida.
Considere a região delimitada pelos gráficos de e para . Determine o volume do sólido formado pela rotação dessa região em torno do eixo das abscissas (veja a figura a seguir).
Em cada um dos Problemas 9 a 16:
c. Determine (pelo menos aproximadamente) o intervalo no qual a solução está definida.
Construa a tabela das diferenças divididas com os dados abaixo e estime o valor de (1.23) utilizando um polinômio interpolador de grau 4. Em seguida, encontre o erro cometido.
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-2.78 -2.241 -1.65 -0.594 1.34 4.564