Em cada um dos Problemas 9 a 16:
(G) b. Desenhe o gráfico da solução.
(G) b. Desenhe o gráfico da solução.
Passo 1
Beleza, galera! A gente vai resolver uma equação diferencial aqui. O enunciado nos dá a equação
e uma condição inicial
. Isso significa que quando
, o valor de
é
. Vamos precisar usar métodos de separação de variáveis para resolver essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial separável. É uma equação onde a variável
e sua derivada
podem ser separadas em lados diferentes da equação. Nosso objetivo é isolar
de um lado e
do outro.
Passo 3
Vamos reescrever a equação
como
. Agora, vamos separar as variáveis multiplicando ambos os lados por
e por
:
Passo 4
Agora, integramos ambos os lados. A integral do lado esquerdo
é igual a
, e a integral do lado direito
é igual a
. Então:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Vamos resolver para
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
:
Podemos renomear
como apenas
(a constante ainda é uma constante arbitrária):
Então, isolando
:
Passo 6
Agora, vamos aplicar a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
na equação:
Resolvendo para
:
Passo 7
Com o valor de
encontrado, substituímos de volta na equação de
:
Resposta
A solução da equação diferencial é
. O gráfico dessa função apresenta assíntotas onde o denominador é zero, ou seja, em
e
. Para desenhar o gráfico, plotamos a função considerando esses pontos e observamos o comportamento de
nas diferentes regiões definidas pelas assíntotas.
Exercícios relacionados
Em cada um dos Problemas 9 a 16:
c. Determine (pelo menos aproximadamente) o intervalo no qual a solução está definida.
c. Determine (pelo menos aproximadamente) o intervalo no qual a solução está definida.
Considere a região delimitada pelos gráficos de
e
para
. Determine o volume do sólido formado pela rotação dessa região em torno do eixo das abscissas (veja a figura a seguir).
Em cada um dos Problemas 9 a 16:
c. Determine (pelo menos aproximadamente) o intervalo no qual a solução está definida.
c. Determine (pelo menos aproximadamente) o intervalo no qual a solução está definida.
Construa a tabela das diferenças divididas com os dados abaixo e estime o valor de
(1.23) utilizando um polinômio interpolador de grau 4. Em seguida, encontre o erro cometido.
|
0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 |
---|---|---|---|---|---|---|
|
-2.78 | -2.241 | -1.65 | -0.594 | 1.34 | 4.564 |