Em cada um dos Problemas de 7 a 16. encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver duas equações diferenciais de segunda ordem aqui. O conteúdo que vamos usar é sobre equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar as raízes da equação característica associada a cada equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos pegar a primeira equação diferencial:
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos formar a equação característica. Substituímos por , por , e por 1:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as raízes dessa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 5
Como as raízes são complexas (), a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, e .
Passo 6
Substituindo os valores de e :
Passo 7
Pronto! Essa é a solução geral da primeira equação diferencial.
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Passo 8
Agora, vamos resolver a segunda equação diferencial:
Ainda estamos lidando com equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Precisamos encontrar a solução geral seguindo os mesmos passos.
Passo 9
Vamos formar a equação característica substituindo por , por , e por 1:
Passo 10
Encontramos as raízes dessa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 11
Como as raízes são complexas () onde e , a solução geral da equação diferencial é:
Passo 12
Substituindo os valores de e :
Passo 13
Essa é a solução geral da segunda equação diferencial.