Em cada um dos Problemas de 7 a 16. encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y'' - 2y' + 6y = 0
y'' + 2y' + 2y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver duas equações diferenciais de segunda ordem aqui. O conteúdo que vamos usar é sobre equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar as raízes da equação característica associada a cada equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos pegar a primeira equação diferencial:

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos formar a equação característica. Substituímos por , por , e por 1:

Passo 4

Agora, vamos encontrar as raízes dessa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:

Passo 5

Como as raízes são complexas ( ), a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, e .

Passo 6

Substituindo os valores de e :

Passo 7

Pronto! Essa é a solução geral da primeira equação diferencial.
**

Passo 8

Agora, vamos resolver a segunda equação diferencial:
Ainda estamos lidando com equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Precisamos encontrar a solução geral seguindo os mesmos passos.

Passo 9

Vamos formar a equação característica substituindo por , por , e por 1:

Passo 10

Encontramos as raízes dessa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:

Passo 11

Como as raízes são complexas ( ) onde e , a solução geral da equação diferencial é:

Passo 12

Substituindo os valores de e :

Passo 13

Essa é a solução geral da segunda equação diferencial.
**

Resposta

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