Considere a série , e leia com atenção as afirmações:
(I) Se ao aplicarmos o teste da razão obtivermos , o teste da raiz fornecerá a mesma resposta;
(II) Se ao aplicarmos o teste da razão obtivermos lim n infty|an+1an|=1, então sum an pode convergir ou divergir;
(III) Se ao aplicarmos o teste da razão e o teste da raiz obtivermos 1, então sum an diverge.
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é:
[ ] VVV [ ]FFF [ ]FVF [ ]VFF [ ]VVF [ ]FVV [ ]FFV [ ]VFV
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício sobre séries infinitas! A gente vai trabalhar com as afirmações relacionadas aos Testes da Razão e da Raiz para determinar a convergência ou divergência de uma série. Vamos precisar entender o que esses testes fazem e como aplicá-los para verificar se as afirmações são verdadeiras ou falsas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a Afirmação I:
“Se ao aplicarmos o teste da razão obtivermos , o teste da raiz fornecerá a mesma resposta.”
O Teste da Razão diz que, se o limite for:
: a série converge absolutamente.
: a série diverge.
: o teste é inconclusivo.
Já o Teste da Raiz usa e tem as mesmas conclusões.
No caso da afirmação, se no Teste da Razão, o teste fica inconclusivo. Mas isso não necessariamente acontece no Teste da Raiz. Eles são testes diferentes e podem dar resultados diferentes mesmo que ambos tenham . Portanto, a afirmação I é falsa.
Passo 3
Agora, vamos para a Afirmação II:
“Se ao aplicarmos o teste da razão obtivermos , então pode convergir ou divergir.”
Como vimos no Teste da Razão, quando , o teste é inconclusivo, o que significa que a série pode convergir ou divergir. Isso depende de outras características específicas da série. Um exemplo clássico é a série harmônica , que diverge, enquanto a série converge, ambas com . Portanto, a afirmação II é verdadeira.
Passo 4
Por fim, vamos analisar a Afirmação III:
“Se ao aplicarmos o teste da razão e o teste da raiz obtivermos 1, então diverge.”
Como já vimos, quando usamos o Teste da Razão ou da Raiz e obtemos , o teste fica inconclusivo. Isso não nos dá informação suficiente para afirmar que a série diverge. A divergência dependeria de outros fatores ou de um teste diferente que conclusivamente mostre a divergência. Portanto, a afirmação III é falsa.
Resposta
A sequ��ncia correta que descreve a veracidade das afirmações é FVR.