Calcule
em que
é uma curva que começa em (1,0) e termina em
, que não passa pela origem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral de linha
. A curva
começa no ponto
e termina em
, sem passar pela origem. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos vetoriais conservativos e potenciais.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar se o campo vetorial
é conservativo. Um campo conservativo possui um potencial, ou seja, existe uma função
tal que
. Se for conservativo, a integral de linha dependerá apenas dos pontos inicial e final, facilitando o cálculo.
Passo 3
Para verificar se
é conservativo, podemos calcular as derivadas parciais cruzadas e ver se elas são iguais:
Calculando:
Como são iguais,
é conservativo.
Passo 4
Agora que sabemos que
é conservativo, podemos encontrar a função potencial
tal que:
Integrando a primeira equação em relação a
:
Derivando
em relação a
e igualando à segunda componente de
:
Isso implica que
, então
é constante. Podemos desprezar a constante, então:
Passo 5
Agora, usando a propriedade dos campos conservativos, a integral de linha será:
Calculando
:
E
:
Resposta
A integral vale
.