Calcule em que é uma curva que começa em (1,0) e termina em , que não passa pela origem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral de linha . A curva começa no ponto e termina em , sem passar pela origem. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos vetoriais conservativos e potenciais.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar se o campo vetorial é conservativo. Um campo conservativo possui um potencial, ou seja, existe uma função tal que . Se for conservativo, a integral de linha dependerá apenas dos pontos inicial e final, facilitando o cálculo.

Passo 3

Para verificar se é conservativo, podemos calcular as derivadas parciais cruzadas e ver se elas são iguais:
Calculando:
Como são iguais, é conservativo.

Passo 4

Agora que sabemos que é conservativo, podemos encontrar a função potencial tal que:
Integrando a primeira equação em relação a :
Derivando em relação a e igualando à segunda componente de :
Isso implica que , então é constante. Podemos desprezar a constante, então:

Passo 5

Agora, usando a propriedade dos campos conservativos, a integral de linha será:
Calculando :
E :

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Para e como acima, determine a expressão e domínio de
(d)
Determine o domínio de cada uma das funções abaixo.
(d)
Em cada um dos Problemas de 7 a 16. encontre a solução geral da equação diferencial dada.

Considere as séries e leia com atenção as afirmações:
(I) Se é convergente, então é convergente, para todo ;
(II) Se é convergente e é divergente, então é divergente;
(III) Se são divergentes, ainda assim pode ser convergente.
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é: