Calcule integralC xx^2+y^2 d x+yx^2+y^2 d y em que C é uma curva que começa em (1,0) e termina em (2,3), que não passa pela origem.
R: ln (raiz13)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral de linha . A curva começa no ponto e termina em , sem passar pela origem. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos vetoriais conservativos e potenciais.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar se o campo vetorial é conservativo. Um campo conservativo possui um potencial, ou seja, existe uma função tal que . Se for conservativo, a integral de linha dependerá apenas dos pontos inicial e final, facilitando o cálculo.

Passo 3

Para verificar se partialpartial y( xx^2+y^2 ) e partialpartial x( yx^2+y^2 ) é conservativo, podemos calcular as derivadas parciais cruzadas e ver se elas são iguais:
partialpartial y( xx^2+y^2 ) = -2xy(x^2+y^2)^2
Calculando:
partialpartial x( yx^2+y^2 ) = -2xy(x^2+y^2)^2
Como são iguais, é conservativo.

Passo 4

Agora que sabemos que partial phipartial x = xx^2+y^2 e partial phipartial y = yx^2+y^2 é conservativo, podemos encontrar a função potencial phi(x,y) = 12 ln(x^2 + y^2) + g(y) tal que:
partial phipartial y = yx^2+y^2 + g'(y) = yx^2+y^2
Integrando a primeira equação em relação a phi(x,y) = 12 ln(x^2 + y^2) :
Derivando em relação a e igualando à segunda componente de :
Isso implica que , então é constante. Podemos desprezar a constante, então:

Passo 5

Agora, usando a propriedade dos campos conservativos, a integral de linha será:
integralC F cdot dr = phi(2,3) - phi(1,0)
Calculando phi(2,3) = 12 ln(2^2 + 3^2) = 12 ln(13) :
phi(1,0) = 12 ln(1^2 + 0^2) = 12 ln(1) = 0
E :

Resposta

A integral vale .

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