Considere as séries e leia com atenção as afirmações:
(I) Se é convergente, então é convergente, para todo ;
(II) Se é convergente e é divergente, então é divergente;
(III) Se são divergentes, ainda assim pode ser convergente.
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para analisarmos três afirmações sobre séries matemáticas, mais especificamente sobre convergência e divergência delas. A matéria aqui envolve séries numéricas e conceitos de convergência e divergência. Vamos precisar entender o que significa uma série convergir ou divergir e como operações com constantes e multiplicação de séries afetam isso.
Passo 2
Afirmação I: “Se é convergente, então é convergente, para todo .”
Aqui, a gente está falando que se a série original converge, multiplicar cada termo por uma constante real não vai mudar isso. Teoricamente, multiplicar uma série convergente por uma constante preserva a convergência porque basicamente estamos apenas escalando os termos. Então, essa afirmação é verdadeira.
Passo 3
Afirmação II: “Se é convergente e é divergente, então é divergente.”
Vamos analisar isso com um exemplo prático. Imagine que , que sabemos ser convergente. Se , que claramente é divergente, então a série também é convergente. Portanto, essa afirmação nem sempre é verdadeira, já que encontramos um caso onde a série resultante ainda converge. Então, a afirmação é falsa.
Passo 4
Afirmação III: “Se são divergentes, ainda assim pode ser convergente.”
Para entender isso, vamos pensar em dois exemplos:
Seja (divergente) e (divergente). Então, , que é convergente.
Outro exemplo: (divergente) e (divergente). Nesse caso, , que é divergente.
O primeiro exemplo mostra que é possível que a série resultante seja convergente mesmo que ambas as séries originais sejam divergentes. Portanto, a afirmação é verdadeira.