Considere as séries
e leia com atenção as afirmações:
(I) Se
é convergente, então
é convergente, para todo
;
(II) Se
é convergente e
é divergente, então
é divergente;
(III) Se
são divergentes, ainda assim
pode ser convergente.
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é:
(I) Se
(II) Se
(III) Se
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para analisarmos três afirmações sobre séries matemáticas, mais especificamente sobre convergência e divergência delas. A matéria aqui envolve séries numéricas e conceitos de convergência e divergência. Vamos precisar entender o que significa uma série convergir ou divergir e como operações com constantes e multiplicação de séries afetam isso.
Passo 2
Afirmação I: “Se
é convergente, então
é convergente, para todo
.”
Aqui, a gente está falando que se a série original
converge, multiplicar cada termo por uma constante real
não vai mudar isso. Teoricamente, multiplicar uma série convergente por uma constante preserva a convergência porque basicamente estamos apenas escalando os termos. Então, essa afirmação é verdadeira.
Passo 3
Afirmação II: “Se
é convergente e
é divergente, então
é divergente.”
Vamos analisar isso com um exemplo prático. Imagine que
, que sabemos ser convergente. Se
, que claramente é divergente, então a série
também é convergente. Portanto, essa afirmação nem sempre é verdadeira, já que encontramos um caso onde a série resultante ainda converge. Então, a afirmação é falsa.
Passo 4
Afirmação III: “Se
são divergentes, ainda assim
pode ser convergente.”
Para entender isso, vamos pensar em dois exemplos:
-
Seja
(divergente) e (divergente). Então, , que é convergente. -
Outro exemplo:
(divergente) e (divergente). Nesse caso, , que é divergente.
O primeiro exemplo mostra que é possível que a série resultante seja convergente mesmo que ambas as séries originais sejam divergentes. Portanto, a afirmação é verdadeira.
Resposta
[V F V]