Considere as séries sum an, sum bn e leia com atenção as afirmações:
(I) Se sum an é convergente, então sum k an é convergente, para todo k in R;
(II) Se sum an é convergente e sum bn é divergente, então sum an bn é divergente;
(III) Se sum an, sum bn são divergentes, ainda assim sum an bn pode ser convergente.
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é:
[] V V V [] F F F [] F V F [] V F F [] V V F [] F V V [] F F V [] V F V

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para analisarmos três afirmações sobre séries matemáticas, mais especificamente sobre convergência e divergência delas. A matéria aqui envolve séries numéricas e conceitos de convergência e divergência. Vamos precisar entender o que significa uma série convergir ou divergir e como operações com constantes e multiplicação de séries afetam isso.

Passo 2

Afirmação I: “Se sum an é convergente, então sum k an é convergente, para todo k in R.”
Aqui, a gente está falando que se a série original sum an converge, multiplicar cada termo por uma constante real k não vai mudar isso. Teoricamente, multiplicar uma série convergente por uma constante preserva a convergência porque basicamente estamos apenas escalando os termos. Então, essa afirmação é verdadeira.

Passo 3

Afirmação II: “Se sum an é convergente e sum bn é divergente, então sum an bn é divergente.”
Vamos analisar isso com um exemplo prático. Imagine que sum an = sum 1n^2, que sabemos ser convergente. Se sum bn = sum 1, que claramente é divergente, então a série sum an bn = sum 1n^2 cdot 1 = sum 1n^2 também é convergente. Portanto, essa afirmação nem sempre é verdadeira, já que encontramos um caso onde a série resultante ainda converge. Então, a afirmação é falsa.

Passo 4

Afirmação III: “Se sum an, sum bn são divergentes, ainda assim sum an bn pode ser convergente.”
Para entender isso, vamos pensar em dois exemplos:
  1. Seja sum an = sum 1n (divergente) e sum bn = sum 1n (divergente). Então, sum an bn = sum 1n^2, que é convergente.
  2. Outro exemplo: sum an = sum (-1)^n (divergente) e sum bn = sum (-1)^n (divergente). Nesse caso, sum an bn = sum 1, que é divergente.
O primeiro exemplo mostra que é possível que a série resultante seja convergente mesmo que ambas as séries originais sejam divergentes. Portanto, a afirmação é verdadeira.

Resposta

[V F V]

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