Considere as séries e leia com atenção as afirmações:
(I) Se é convergente, então é convergente, para todo ;
(II) Se é convergente e é divergente, então é divergente;
(III) Se são divergentes, ainda assim pode ser convergente.
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para analisarmos três afirmações sobre séries matemáticas, mais especificamente sobre convergência e divergência delas. A matéria aqui envolve séries numéricas e conceitos de convergência e divergência. Vamos precisar entender o que significa uma série convergir ou divergir e como operações com constantes e multiplicação de séries afetam isso.

Passo 2

Afirmação I: “Se é convergente, então é convergente, para todo .”
Aqui, a gente está falando que se a série original converge, multiplicar cada termo por uma constante real não vai mudar isso. Teoricamente, multiplicar uma série convergente por uma constante preserva a convergência porque basicamente estamos apenas escalando os termos. Então, essa afirmação é verdadeira.

Passo 3

Afirmação II: “Se é convergente e é divergente, então é divergente.”
Vamos analisar isso com um exemplo prático. Imagine que , que sabemos ser convergente. Se , que claramente é divergente, então a série também é convergente. Portanto, essa afirmação nem sempre é verdadeira, já que encontramos um caso onde a série resultante ainda converge. Então, a afirmação é falsa.

Passo 4

Afirmação III: “Se são divergentes, ainda assim pode ser convergente.”
Para entender isso, vamos pensar em dois exemplos:
  1. Seja (divergente) e (divergente). Então, , que é convergente.
  2. Outro exemplo: (divergente) e (divergente). Nesse caso, , que é divergente.
O primeiro exemplo mostra que é possível que a série resultante seja convergente mesmo que ambas as séries originais sejam divergentes. Portanto, a afirmação é verdadeira.

Resposta

[V F V]

Exercícios relacionados

Em cada um dos Problemas de 7 a 16. encontre a solução geral da equação diferencial dada.

Calcule em que é uma curva que começa em (1,0) e termina em , que não passa pela origem.
Considere a série , e leia com atenção as afirmações:
(I) Se ao aplicarmos o teste da razão obtivermos , o teste da raiz fornecerá a mesma resposta;
(II) Se ao aplicarmos o teste da razão obtivermos , então pode convergir ou divergir;
(III) Se ao aplicarmos o teste da razão e o teste da raiz obtivermos 1, então diverge.
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é:
[ ] VVV [ ]FFF [ ]FVF [ ]VFF [ ]VVF [ ]FVV [ ]FFV [ ]VFV
Leia com atenção as afirmações:
(I) A série de potências converge para ;
(II) O raio de convergência da série de potências é ;
(III) A expansão de , em torno do zero, é .
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é:
]FFF [ ] FVF [ ]