Em cada um dos Problemas de 9 a 16, encontre a solução do problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da soluçāo e descreva seu comportamento quando
aumenta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
Além disso, temos as condições iniciais:
O conteúdo que vamos usar aqui é de Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes. Para resolver, a gente vai precisar achar a solução geral da equação, aplicar as condições iniciais e depois esboçar o gráfico da solução para ver como ela se comporta conforme o tempo
aumenta.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial. Para isso, vamos encontrar a equação característica da equação diferencial dada. A equação característica ajuda a determinar as soluções da equação diferencial.
A equação diferencial é:
A equação característica associada a isso é:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
. Substituindo esses valores:
Passo 4
Percebemos que o discriminante
é negativo, o que significa que as raízes são complejas. Podemos escrever as raízes na forma:
Onde:
Passo 5
Quando temos raízes complexas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo os valores de
e
:
Passo 6
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
.
Primeira condição:
Substituindo
:
Passo 7
Segunda condição:
Primeiro, vamos achar a derivada de
:
Usando a regra do produto e derivando:
Agora, substituindo
e
:
Passo 8
Vamos resolver para
:
Passo 9
Agora que encontramos
e
, podemos escrever a solução completa da equação diferencial:
Passo 10
Por fim, vamos esboçar o gráfico dessa solução e descrever seu comportamento conforme
aumenta.
Como temos termos exponenciais multiplicando funções trigonométricas, a solução representa oscilações que diminuem ou crescem dependendo do sinal de
.
Aqui,
é positivo, então o termo
faz com que as oscilações cresçam à medida que
aumenta. Ou seja, a função vai oscilando mais fortemente com o passar do tempo.
Esboço do Gráfico:
Nota: O gráfico acima é apenas ilustrativo.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Conforme
aumenta,
apresenta oscilações que crescem exponencialmente devido ao termo
.
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.
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