Em cada um dos Problemas de 9 a 16, encontre a solução do problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da soluçāo e descreva seu comportamento quando aumenta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
Além disso, temos as condições iniciais:
O conteúdo que vamos usar aqui é de Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes. Para resolver, a gente vai precisar achar a solução geral da equação, aplicar as condições iniciais e depois esboçar o gráfico da solução para ver como ela se comporta conforme o tempo aumenta.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial. Para isso, vamos encontrar a equação característica da equação diferencial dada. A equação característica ajuda a determinar as soluções da equação diferencial.
A equação diferencial é:
A equação característica associada a isso é:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e . Substituindo esses valores:

Passo 4

Percebemos que o discriminante é negativo, o que significa que as raízes são complejas. Podemos escrever as raízes na forma:
Onde:

Passo 5

Quando temos raízes complexas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo os valores de e :

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e .
Primeira condição:
Substituindo :

Passo 7

Segunda condição:
Primeiro, vamos achar a derivada de :
Usando a regra do produto e derivando:
Agora, substituindo e :

Passo 8

Vamos resolver para :

Passo 9

Agora que encontramos e , podemos escrever a solução completa da equação diferencial:

Passo 10

Por fim, vamos esboçar o gráfico dessa solução e descrever seu comportamento conforme aumenta.
Como temos termos exponenciais multiplicando funções trigonométricas, a solução representa oscilações que diminuem ou crescem dependendo do sinal de .
Aqui, é positivo, então o termo faz com que as oscilações cresçam à medida que aumenta. Ou seja, a função vai oscilando mais fortemente com o passar do tempo.
Esboço do Gráfico:
Gráfico de y(t)
Nota: O gráfico acima é apenas ilustrativo.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
Conforme aumenta, apresenta oscilações que crescem exponencialmente devido ao termo .

Exercícios relacionados

Calcular a derivada de cada uma das funções a seguir:
Calcule .
Calcule os limites a seguir usando a regra de L
Calcular a derivada de cada uma das funções a seguir: