Calcule f'(x).
f(x) = 3 x^2 arccotg(5 x)^5

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de calcular a derivada de . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, especificamente a regra do produto e a regra da cadeia. A regra do produto é usada quando temos uma função que é o produto de duas outras funções, e a regra da cadeia é usada para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, identifique as duas funções que estão sendo multiplicadas:
Precisamos derivar cada uma delas separadamente.

Passo 3

Vamos derivar :
Agora, vamos derivar . Aqui, aplicamos a regra da cadeia:
  1. Função externa: , cuja derivada é .
  2. Função interna: , cuja derivada é .
Então,

Passo 4

Agora, aplicamos a regra do produto que diz que a derivada de é:
Substituindo as derivadas que encontramos:

Resposta

Simplificando a expressão final, temos:

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