Calcule os limites a seguir usando a regra de L

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular o limite . Isso envolve cálculo de limites e logaritmos. Para resolver, vamos precisar usar a regra de L’Hôpital, que é muito útil quando encontramos formas indeterminadas como ou .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece dentro do logaritmo quando se aproxima de 6. Substituindo na expressão:
Isso nos dá uma forma indeterminada , o que significa que podemos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 3

Antes de aplicar L’Hôpital, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Vamos chamar essa expressão de :
Vamos reescrever o denominador como , pois é uma diferença de quadrados.

Passo 4

Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital que diz que se ou , então:
Vamos derivar o numerador e o denominador:
Derivada do numerador :
Derivada do denominador :

Passo 5

Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital:
Substituindo :

Passo 6

Agora que encontramos o limite dentro do logaritmo, podemos calcular o limite original:
Sabemos que , pois .

Resposta

Exercícios relacionados

Em cada um dos Problemas de 9 a 16, encontre a solução do problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da soluçāo e descreva seu comportamento quando aumenta.
Calcular a derivada de cada uma das funções a seguir:
Calcular a derivada de cada uma das funções a seguir:
Em cada um dos Problemas de 9 a 16, encontre a solução do problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da soluçāo e descreva seu comportamento quando aumenta.