Calcule os limites a seguir usando a regra de L
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular o limite
. Isso envolve cálculo de limites e logaritmos. Para resolver, vamos precisar usar a regra de L’Hôpital, que é muito útil quando encontramos formas indeterminadas como
ou
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece dentro do logaritmo quando
se aproxima de 6. Substituindo
na expressão:
Isso nos dá uma forma indeterminada
, o que significa que podemos aplicar a regra de L’Hôpital.
Passo 3
Antes de aplicar L’Hôpital, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Vamos chamar essa expressão de
:
Vamos reescrever o denominador
como
, pois é uma diferença de quadrados.
Passo 4
Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital que diz que se
ou
, então:
Vamos derivar o numerador e o denominador:
Derivada do numerador
:
Derivada do denominador
:
Passo 5
Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital:
Substituindo
:
Passo 6
Agora que encontramos o limite dentro do logaritmo, podemos calcular o limite original:
Sabemos que
, pois
.