Calcule os limites a seguir usando a regra de L lim x 6 log 6(12 raizx+3-36x^2-36)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular o limite . Isso envolve cálculo de limites e logaritmos. Para resolver, vamos precisar usar a regra de L’Hôpital, que é muito útil quando encontramos formas indeterminadas como ou .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece dentro do logaritmo quando 12 raiz6+3 - 366^2 - 36 = 12 times 3 - 3636 - 36 = 36 - 360 = 00 se aproxima de 6. Substituindo na expressão:
Isso nos dá uma forma indeterminada , o que significa que podemos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 3

Antes de aplicar L’Hôpital, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Vamos chamar essa expressão de f(x) = 12 raizx+3 - 36x^2 - 36 :
Vamos reescrever o denominador como , pois é uma diferença de quadrados.

Passo 4

Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital que diz que se limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x) ou N'(x) = 12 times 12(x+3)^-1/2 = 6raizx+3 , então:
D'(x) = 2x
Vamos derivar o numerador e o denominador:
Derivada do numerador :
Derivada do denominador :

Passo 5

Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital:
limx to 6 12 raizx+3 - 36x^2 - 36 = limx to 6 6raizx+32x = limx to 6 62x raizx+3 = limx to 6 3x raizx+3
Substituindo 36 raiz6+3 = 36 times 3 = 318 = 16 :

Passo 6

Agora que encontramos o limite dentro do logaritmo, podemos calcular o limite original:
lim x 6 log 6(12 raizx+3-36x^2-36) = log6(16)
Sabemos que , pois .

Resposta

lim x 6 log 6(12 raizx+3-36x^2-36) = -1

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