Em cada um dos Problemas de 9 a 16, encontre a solução do problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da soluçāo e descreva seu comportamento quando aumenta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem: , com as condições iniciais e . Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais ordinárias para achar a solução dessa equação e depois analisar como ela se comporta conforme aumenta.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a equação diferencial em uma equação característica. Isso ajuda a encontrar as soluções gerais da equação. Substituímos por , por e por 1, ficando assim:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde, , e . Calculando:
Como é negativo, temos raízes complexas.

Passo 4

Com raízes complexas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde e . Vamos calcular:
Então, a solução fica:

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, quando :
Então, .
Agora, derivamos para encontrar :
Aplicando :
Substituindo :

Passo 6

Agora que temos e , substituímos de volta na solução geral:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
À medida que aumenta, a função apresenta oscilações de amplitude decrescente devido ao termo exponencial , o que significa que a solução tende a zero.

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