Em cada um dos Problemas de 9 a 16, encontre a solução do problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da soluçāo e descreva seu comportamento quando
aumenta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
, com as condições iniciais
e
. Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais ordinárias para achar a solução dessa equação e depois analisar como ela se comporta conforme
aumenta.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a equação diferencial em uma equação característica. Isso ajuda a encontrar as soluções gerais da equação. Substituímos
por
,
por
e
por 1, ficando assim:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde,
,
e
. Calculando:
Como
é negativo, temos raízes complexas.
Passo 4
Com raízes complexas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde
e
. Vamos calcular:
Então, a solução fica:
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, quando
:
Então,
.
Agora, derivamos
para encontrar
:
Aplicando
:
Substituindo
:
Passo 6
Agora que temos
e
, substituímos de volta na solução geral:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
À medida que
aumenta, a função
apresenta oscilações de amplitude decrescente devido ao termo exponencial
, o que significa que a solução tende a zero.
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