Calcule os limites caso exista:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular:
Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressões na forma se comportam quando tende ao infinito (positivo ou negativo).

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Observamos que:
Quando tende a , tende a 0. Portanto, a base da potência está se aproximando de 1. Mas o expoente está indo para . Isso nos dá uma forma indeterminada do tipo , então precisamos manipular a expressão para resolver.

Passo 3

Uma técnica útil para resolver limites desse tipo é usar o logaritmo natural. Vamos chamar o limite de :
Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:
Agora, nosso objetivo é encontrar .

Passo 4

Vamos usar a aproximação para quando é pequeno:
Aqui, , que é bem pequeno quando tende a . Aplicando essa aproximação:
Substituindo de volta na expressão para :

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de quando tende a :
Porque tende a 0 quando vai para .

Passo 6

Sabemos que:
Então, o limite original é:

Resposta

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Calcular a derivada de cada uma das funções a seguir:
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Determine o valor de de modo que .