Calcule os limites caso exista:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular:
Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressões na forma
se comportam quando
tende ao infinito (positivo ou negativo).
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Observamos que:
Quando
tende a
,
tende a 0. Portanto, a base da potência está se aproximando de 1. Mas o expoente
está indo para
. Isso nos dá uma forma indeterminada do tipo
, então precisamos manipular a expressão para resolver.
Passo 3
Uma técnica útil para resolver limites desse tipo é usar o logaritmo natural. Vamos chamar o limite de
:
Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:
Agora, nosso objetivo é encontrar
.
Passo 4
Vamos usar a aproximação para
quando
é pequeno:
Aqui,
, que é bem pequeno quando
tende a
. Aplicando essa aproximação:
Substituindo de volta na expressão para
:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite de
quando
tende a
:
Porque
tende a 0 quando
vai para
.
Passo 6
Sabemos que:
Então, o limite original é:
Resposta
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Em cada um dos Problemas de 9 a 16, encontre a solução do problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da soluçāo e descreva seu comportamento quando
aumenta.
Calcular a derivada de cada uma das funções a seguir:
Calcular a derivada de cada uma das funções a seguir:
Determine o valor de
de modo que
.