Calcule os limites caso exista:
lim x -infty(1+1x)^7 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular:
limx -infty (1 + 1x)^7x
Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressões na forma se comportam quando tende ao infinito (positivo ou negativo).

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Observamos que:
1 + 1x
Quando tende a , tende a 0. Portanto, a base da potência está se aproximando de 1. Mas o expoente está indo para . Isso nos dá uma forma indeterminada do tipo , então precisamos manipular a expressão para resolver.

Passo 3

Uma técnica útil para resolver limites desse tipo é usar o logaritmo natural. Vamos chamar o limite de L = (1 + 1x)^7x :
ln L = 7x cdot ln(1 + 1x)
Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:
Agora, nosso objetivo é encontrar .

Passo 4

Vamos usar a aproximação para ln(1 + z) approx z - z^22 quando ln(1 + 1x) approx 1x - 12x^2 é pequeno:
ln L approx 7x (1x - 12x^2) = 7 - 72x
Aqui, , que é bem pequeno quando tende a . Aplicando essa aproximação:
Substituindo de volta na expressão para :

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de limx -infty ln L = limx -infty (7 - 72x) = 7 quando tende a :
Porque tende a 0 quando vai para .

Passo 6

Sabemos que:
ln L = 7 implies L = e^7
Então, o limite original é:
limx -infty (1 + 1x)^7x = e^7

Resposta

e^7

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