Em cada um dos Problemas de 19 até 22, mostre que a equaçỉo dada nâo 6 exata, mas torna-se exata quando multiplicada por um fator integrante. Depois resolva a equaçảo.
20.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial que não é exata, e precisamos:
  1. Mostrar que ela realmente não é exata.
  2. Encontrar um fator integrante que, quando multiplicamos a equação por ele, a torna exata.
  3. Resolver a equação resultante.
    Vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas e fatores integrantes para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação dada é exata. Uma equação da forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a :
Vamos identificar e na equação:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Claramente, , então a equação original não é exata.

Passo 3

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata quando multiplicamos ambos os lados por . O exercício já nos dá o fator integrante:
Multiplicando e por :
Agora, verificamos se a equação é exata:
Como , a equação multiplicada pelo fator integrante é exata.

Passo 4

Agora que temos uma equação exata, sabemos que existe uma função potencial tal que:
Integrando em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Comparando os termos, vemos que . Porém, isso implica que depende de , o que não faz sentido. Isso indica que , então é constante.
Portanto, a função potencial é:
Onde é uma constante.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante real.

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