Em cada um dos Problemas de 19 até 22, mostre que a equaçỉo dada nâo 6 exata, mas torna-se exata quando multiplicada por um fator integrante. Depois resolva a equaçảo.
20. (sen yy-2 e^-x sen x) d x+(cos y+2 e^-x cos xy) d y=0, mu(x, y)=y e^x

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial que não é exata, e precisamos:
  1. Mostrar que ela realmente não é exata.
  2. Encontrar um fator integrante que, quando multiplicamos a equação por ele, a torna exata.
  3. Resolver a equação resultante.
    Vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas e fatores integrantes para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação dada é exata. Uma equação da forma partial Mpartial y = partial Npartial x é exata se a derivada parcial de M = sin yy - 2 e^-x sin x em relação a N = cos y + 2 e^-x cos xy for igual à derivada parcial de partial Mpartial y = y cos y - sin yy^2 em relação a partial Npartial x = -2 e^-x cos x - 2 e^-x sin xy :
Vamos identificar e na equação:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Claramente, , então a equação original não é exata.

Passo 3

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante mu(x, y) = y e^x que torne a equação exata quando multiplicamos ambos os lados por tildeM = mu M = y e^x ( sin yy - 2 e^-x sin x ) = e^x sin y - 2 sin x . O exercício já nos dá o fator integrante:
tildeN = mu N = y e^x ( cos y + 2 e^-x cos xy ) = e^x cos y + 2 cos x
Multiplicando partial tildeMpartial y = e^x cos y e partial tildeNpartial x = e^x cos y por :
Agora, verificamos se a equação é exata:
Como , a equação multiplicada pelo fator integrante é exata.

Passo 4

Agora que temos uma equação exata, sabemos que existe uma função potencial partial Phipartial x = tildeM = e^x sin y - 2 sin x tal que:
Phi(x,y) = integral ( e^x sin y - 2 sin x ) dx = e^x sin y + 2 cos x + h(y)
Integrando partial Phipartial y = e^x cos y + h'(y) = e^x cos y + 2 cos x em relação a Phi(x,y) = e^x sin y + 2 cos x + C :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Comparando os termos, vemos que . Porém, isso implica que depende de , o que não faz sentido. Isso indica que , então é constante.
Portanto, a função potencial é:
Onde é uma constante.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
e^x sin y + 2 cos x = C
Onde é uma constante real.

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