Em cada um dos Problemas de 19 até 22, mostre que a equaçỉo dada nâo 6 exata, mas torna-se exata quando multiplicada por um fator integrante. Depois resolva a equaçảo.
20.
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Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial que não é exata, e precisamos:
- Mostrar que ela realmente não é exata.
- Encontrar um fator integrante que, quando multiplicamos a equação por ele, a torna exata.
- Resolver a equação resultante.
Vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas e fatores integrantes para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação dada é exata. Uma equação da forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
:
Vamos identificar
e
na equação:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Claramente,
, então a equação original não é exata.
Passo 3
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante
que torne a equação exata quando multiplicamos ambos os lados por
. O exercício já nos dá o fator integrante:
Multiplicando
e
por
:
Agora, verificamos se a equação é exata:
Como
, a equação multiplicada pelo fator integrante é exata.
Passo 4
Agora que temos uma equação exata, sabemos que existe uma função potencial
tal que:
Integrando
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Comparando os termos, vemos que
. Porém, isso implica que
depende de
, o que não faz sentido. Isso indica que
, então
é constante.
Portanto, a função potencial é:
Onde
é uma constante.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante real.