Determine uma familia de soluçöes a um parametro para as EDOs. Em cada caso, d/dx y + y/x = -1/x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é da forma . Aqui, estamos lidando com Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a transformar a equação em algo mais fácil de integrar e encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação. A equação está na forma padrão:
Onde:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Ou seja:

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
O que dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, isolamos para encontrar a solução geral:

Resposta

A família de soluções para a EDO é dada por:
Onde é uma constante real qualquer.

Exercícios relacionados