Determine uma familia de soluçöes a um parametro para as EDOs. Em cada caso,
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é da forma
. Aqui, estamos lidando com Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a transformar a equação em algo mais fácil de integrar e encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação. A equação está na forma padrão:
Onde:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
O que dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Finalmente, isolamos
para encontrar a solução geral:
Resposta
A família de soluções para a EDO é dada por:
Onde
é uma constante real qualquer.
Exercícios relacionados
Considere um corpo com massa
em queda vertical sujeito a forca da gravidade,
, e a forca de resistência do ar que é proporcional a velocidade instantânea do corpo e tem sentido oposto ao do velociade limite (ou velocidade terminal) Determine uma equaçāo diferencial para a velocidade do corpo,
, em funçảo do tempo. Sem resolver esta equaçoo, esboce os gráficos que descrevam todas as possiveis soluçobes (todos os tipos de curvas integrais). Use a análise desses gráticos para determinar a velocidade terminal
desse corpo
desse corpo
Em cada um dos Problemas de 19 até 22, mostre que a equaçỉo dada nâo 6 exata, mas torna-se exata quando multiplicada por um fator integrante. Depois resolva a equaçảo.
20.
20.
Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
Calcule as derivadas parciais das seguintes funções: