Considere um corpo com massa
em queda vertical sujeito a forca da gravidade,
, e a forca de resistência do ar que é proporcional a velocidade instantânea do corpo e tem sentido oposto ao do velociade limite (ou velocidade terminal) Determine uma equaçāo diferencial para a velocidade do corpo,
, em funçảo do tempo. Sem resolver esta equaçoo, esboce os gráficos que descrevam todas as possiveis soluçobes (todos os tipos de curvas integrais). Use a análise desses gráticos para determinar a velocidade terminal
desse corpo
desse corpo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um corpo com massa
caindo verticalmente, sujeito à força da gravidade
e à resistência do ar, que depende da velocidade do corpo. O nosso objetivo é montar uma equação diferencial que descreva a velocidade
desse corpo em função do tempo. Para isso, vamos precisar entender as leis de Newton sobre movimento e como forças se combinam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele multiplicada pela aceleração:
Como estamos lidando com velocidade, a aceleração
é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos identificar as forças atuando no corpo:
- Força da gravidade: Puxa o corpo para baixo e é dada por
, onde é a aceleração da gravidade. - Força de resistência do ar: Essa força resiste ao movimento e é proporcional à velocidade instantânea
. Podemos expressá-la como , onde é uma constante de proporcionalidade. Ela atua no sentido oposto à velocidade.
Passo 4
Aplicando a segunda lei de Newton, a força resultante
é a diferença entre a força da gravidade e a força de resistência do ar:
Então, substituindo na segunda lei:
Passo 5
Vamos organizar essa equação para ficarmos com
isolado:
Essa é a nossa equação diferencial que relaciona a velocidade do corpo com o tempo.
Passo 6
Para encontrar a velocidade terminal, a gente sabe que ela ocorre quando a aceleração é zero, ou seja, quando
. Nesse ponto, a força da gravidade é igual à força de resistência do ar:
Resolvendo para
:
Resposta
A velocidade terminal do corpo é
.
Exercícios relacionados
Em cada um dos Problemas de 19 até 22, mostre que a equaçỉo dada nâo 6 exata, mas torna-se exata quando multiplicada por um fator integrante. Depois resolva a equaçảo.
20.
20.
Determine uma familia de soluçöes a um parametro para as EDOs. Em cada caso,
Determine uma familia de soluçöes a um parametro para as EDOs. Em cada caso,
Calcule as derivadas parciais das seguintes funções: