Determine uma familia de soluçöes a um parametro para as EDOs. Em cada caso,
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo
. Isso está na área de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente uma EDO linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar soluções gerais para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação. Ela está na forma padrão de uma EDO linear:
Aqui,
e
. Nosso objetivo é encontrar uma função
que satisfaça essa equação para qualquer
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante, que é essencial para resolver essa equação. O fator integrante,
, é dado por:
Substituindo
:
Como estamos lidando com soluções gerais, podemos ignorar o valor absoluto e usar
.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando:
Isso pode ser reescrito como:
Pois a derivada de
em relação a
é
.
Passo 5
Integrando ambos os lados:
O lado esquerdo simplifica para
e o lado direito para uma constante
:
Portanto, isolando
:
Resposta
A família de soluções para a equação diferencial
é dada por:
onde
é uma constante real.
Exercícios relacionados
Um rio segue para o norte com uma velocidade de
. Um homem rema un barco, atravessando o rio, sua velocidade relativa à água é de
para leste.
b) Se a largura do rio é de 1 km , em que ponto ele atingirá a margem opostâe
b) Se a largura do rio é de 1 km , em que ponto ele atingirá a margem opostâe
Deseja-se colocar um satélite numa órbita circular a 1.000 m de altura. Que velocidade orbital deve ser dada ao satélite? O raio da terra tem 6.320 km .
Em cada um dos Problemas de 19 até 22, mostre que a equaçỉo dada nâo 6 exata, mas torna-se exata quando multiplicada por um fator integrante. Depois resolva a equaçảo.
20.
20.
Considere um corpo com massa
em queda vertical sujeito a forca da gravidade,
, e a forca de resistência do ar que é proporcional a velocidade instantânea do corpo e tem sentido oposto ao do velociade limite (ou velocidade terminal) Determine uma equaçāo diferencial para a velocidade do corpo,
, em funçảo do tempo. Sem resolver esta equaçoo, esboce os gráficos que descrevam todas as possiveis soluçobes (todos os tipos de curvas integrais). Use a análise desses gráticos para determinar a velocidade terminal
desse corpo
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