Determine uma familia de soluçöes a um parametro para as EDOs. Em cada caso,
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo
. Isso está na área de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente uma EDO linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar soluções gerais para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação. Ela está na forma padrão de uma EDO linear:
Aqui,
e
. Nosso objetivo é encontrar uma função
que satisfaça essa equação para qualquer
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante, que é essencial para resolver essa equação. O fator integrante,
, é dado por:
Substituindo
:
Como estamos lidando com soluções gerais, podemos ignorar o valor absoluto e usar
.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando:
Isso pode ser reescrito como:
Pois a derivada de
em relação a
é
.
Passo 5
Integrando ambos os lados:
O lado esquerdo simplifica para
e o lado direito para uma constante
:
Portanto, isolando
:
Resposta
A família de soluções para a equação diferencial
é dada por:
onde
é uma constante real.