Determine uma familia de soluçöes a um parametro para as EDOs. Em cada caso,

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo . Isso está na área de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente uma EDO linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar soluções gerais para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação. Ela está na forma padrão de uma EDO linear:
Aqui, e . Nosso objetivo é encontrar uma função que satisfaça essa equação para qualquer .

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante, que é essencial para resolver essa equação. O fator integrante, , é dado por:
Substituindo :
Como estamos lidando com soluções gerais, podemos ignorar o valor absoluto e usar .

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando:
Isso pode ser reescrito como:
Pois a derivada de em relação a é .

Passo 5

Integrando ambos os lados:
O lado esquerdo simplifica para e o lado direito para uma constante :
Portanto, isolando :

Resposta

A família de soluções para a equação diferencial é dada por:
onde é uma constante real.

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