Em cada um dos Problemas 1a 6 :
a. Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em x=0.
b. Determine a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação indicial.
c. Encontre a solução em série x > 0 correspondente à maior raiz.
d. Se as raizes forem diferentes e não diferirem por um inteiro, encontre também a solução em série correspondente à menor raiz.
6. x y'' + (1-x) y' - y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício 6 que nos dá a equação diferencial:
O que a gente precisa fazer aqui é:
a. Mostrar que é um ponto singular regular.
b. Determinar a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação indicial.
c. Encontrar a solução em série (para ) correspondente à maior raiz.
d. Se as raízes forem diferentes e não diferirem por um inteiro, também encontrar a solução em série correspondente à menor raiz.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de pontos singulares, equações indicais e séries de potências. Não se preocupe se esses termos parecem complicados; vou explicar cada um enquanto avançamos.

Passo 2

a. Verificando se é um ponto singular regular
Primeiro, precisamos identificar se é um ponto singular e se é regular.
Uma equação diferencial de segunda ordem pode ser escrita na forma padrão:
Vamos dividir toda a equação original por para chegar a essa forma:
Então, temos:
Agora, é um ponto singular se ou tiverem singularidades (ou seja, se não forem analíticos) em . Ambos e têm termos de , então é um ponto singular.
Para ser um ponto singular regular, as funções e devem satisfazer que e são analíticas em .
Vamos verificar:
Ambas as expressões são polinômios e, portanto, são analíticas em . Logo, é um ponto singular regular.

Passo 3

b. Determinando a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação indicial
A equação indicial nos ajuda a encontrar os expoentes para a solução em série de Frobenius. Vamos assumir que a solução tem a forma:
Primeiro, calculamos as derivadas:
Substituindo , e na equação original:
Simplificando:
Para encontrar a equação indicial, olhamos para os menores expoentes de . Isso ocorre quando .
Considerando :
Para que a equação seja válida para todo , o coeficiente de deve ser zero:
Isso nos dá a equação indicial:
As raízes da equação indicial são:
No entanto, isso indica que há uma raiz dupla, então as soluções serão um pouco mais complicadas. Mas antes, vamos determinar a relação de recorrência para os coeficientes .

Passo 4

Relação de Recorrência
Para encontrar a relação de recorrência, igualamos os coeficientes de cada potência de a zero.
Após simplificar a substituição, para , temos:
Simplificando:
Dividindo por (assumindo ):
Essa é a relação de recorrência para os coeficientes .

Passo 5

c. Encontrando a solução em série correspondente à maior raiz
Como as raízes da equação indicial são iguais ( ), a solução geral será composta por duas partes. A primeira parte corresponde a .
Vamos construir a solução em série para :
Usando a relação de recorrência que encontramos:
Resolvendo para :
Podemos calcular alguns termos para ver o padrão:
Para :
Para :
E assim por diante. Portanto, a solução em série correspondente à maior raiz é:

Passo 6

d. Encontrando a solução em série correspondente à menor raiz
Como as raízes são iguais ( ), normalmente precisaríamos usar uma solução logarítmica para a segunda solução. No entanto, o enunciado pede para encontrar a segunda solução apenas se as raízes forem diferentes e não diferirem por um inteiro. Como nossas raízes são iguais, não há uma segunda solução em série simples neste caso. A segunda solução envolveria termos com logaritmos, que está além do escopo das séries de potências básicas.

Resposta

A solução da equação diferencial em série de potências para correspondente à maior raiz é:

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