Em cada um dos Problemas 1a 6 :
a. Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular
.
b. Determine a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação indicial.
c. Encontre a solução em série
correspondente à maior raiz.
d. Se as raizes forem diferentes e não diferirem por um inteiro, encontre também a solução em série correspondente à menor raiz.
6.
a. Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular
b. Determine a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação indicial.
c. Encontre a solução em série
d. Se as raizes forem diferentes e não diferirem por um inteiro, encontre também a solução em série correspondente à menor raiz.
6.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício 6 que nos dá a equação diferencial:
O que a gente precisa fazer aqui é:
a. Mostrar que
é um ponto singular regular.
b. Determinar a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação indicial.
c. Encontrar a solução em série (para ) correspondente à maior raiz.
d. Se as raízes forem diferentes e não diferirem por um inteiro, também encontrar a solução em série correspondente à menor raiz.
b. Determinar a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação indicial.
c. Encontrar a solução em série (para
d. Se as raízes forem diferentes e não diferirem por um inteiro, também encontrar a solução em série correspondente à menor raiz.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de pontos singulares, equações indicais e séries de potências. Não se preocupe se esses termos parecem complicados; vou explicar cada um enquanto avançamos.
Passo 2
a. Verificando se
é um ponto singular regular
Primeiro, precisamos identificar se
é um ponto singular e se é regular.
Uma equação diferencial de segunda ordem pode ser escrita na forma padrão:
Vamos dividir toda a equação original por
para chegar a essa forma:
Então, temos:
Agora,
é um ponto singular se
ou
tiverem singularidades (ou seja, se não forem analíticos) em
. Ambos
e
têm termos de
, então
é um ponto singular.
Para ser um ponto singular regular, as funções
e
devem satisfazer que
e
são analíticas em
.
Vamos verificar:
Ambas as expressões são polinômios e, portanto, são analíticas em
. Logo,
é um ponto singular regular.
Passo 3
b. Determinando a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação indicial
A equação indicial nos ajuda a encontrar os expoentes
para a solução em série de Frobenius. Vamos assumir que a solução tem a forma:
Primeiro, calculamos as derivadas:
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Para encontrar a equação indicial, olhamos para os menores expoentes de
. Isso ocorre quando
.
Considerando
:
Para que a equação seja válida para todo
, o coeficiente de
deve ser zero:
Isso nos dá a equação indicial:
As raízes da equação indicial são:
No entanto, isso indica que há uma raiz dupla, então as soluções serão um pouco mais complicadas. Mas antes, vamos determinar a relação de recorrência para os coeficientes
.
Passo 4
Relação de Recorrência
Para encontrar a relação de recorrência, igualamos os coeficientes de cada potência de
a zero.
Após simplificar a substituição, para
, temos:
Simplificando:
Dividindo por
(assumindo
):
Essa é a relação de recorrência para os coeficientes
.
Passo 5
c. Encontrando a solução em série correspondente à maior raiz
Como as raízes da equação indicial são iguais (
), a solução geral será composta por duas partes. A primeira parte corresponde a
.
Vamos construir a solução em série para
:
Usando a relação de recorrência que encontramos:
Resolvendo para
:
Podemos calcular alguns termos para ver o padrão:
Para
:
Para
:
E assim por diante. Portanto, a solução em série correspondente à maior raiz
é:
Passo 6
d. Encontrando a solução em série correspondente à menor raiz
Como as raízes são iguais (
), normalmente precisaríamos usar uma solução logarítmica para a segunda solução. No entanto, o enunciado pede para encontrar a segunda solução apenas se as raízes forem diferentes e não diferirem por um inteiro. Como nossas raízes são iguais, não há uma segunda solução em série simples neste caso. A segunda solução envolveria termos com logaritmos, que está além do escopo das séries de potências básicas.
Resposta
A solução da equação diferencial
em série de potências para
correspondente à maior raiz é:
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