Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta:
.
Passo 1
Vamos analisar a série
. Essa questão envolve o estudo de séries infinitas e a verificação de sua convergência ou divergência. Para resolver, vamos usar o Teste da Raiz, que é útil quando os termos da série têm potências envolvendo
.
Passo 2
O Teste da Raiz funciona assim: calculamos o limite da raiz n-ésima do termo geral da série. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, a série diverge; e se for igual a 1, o teste não nos dá uma resposta definitiva.
Passo 3
Vamos identificar o termo geral da série:
Agora, aplicamos a raiz n-ésima nesse termo:
Passo 4
Agora, calculamos o limite desse valor quando
tende ao infinito:
Isso porque, à medida que
cresce,
também cresce sem limites, fazendo com que
se aproxime de zero.
Passo 5
Como o limite calculado é
, que é menor que
, de acordo com o Teste da Raiz, podemos concluir que a série converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Encontre as demais funções trigonométricas (seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante) para o ângulo
nos seguintes casos:
Em cada um dos Problemas 1a 6 :
a. Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular .
b. Determine a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação indicial.
c. Encontre a solução em série correspondente à maior raiz.
d. Se as raizes forem diferentes e não diferirem por um inteiro, encontre também a solução em série correspondente à menor raiz.
6.
a. Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular
b. Determine a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação indicial.
c. Encontre a solução em série
d. Se as raizes forem diferentes e não diferirem por um inteiro, encontre também a solução em série correspondente à menor raiz.
6.
Simplifique as seguintes expressões:
Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta:
.