Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta:
.
Passo 1
Vamos analisar a série
. Essa série faz parte do estudo das séries infinitas, que envolvem a soma de termos que continuam indefinidamente. Para determinar se a série converge (ou seja, soma a um valor finito) ou diverge (não soma a um valor finito), vamos utilizar o Teste da Razão.
Passo 2
O Teste da Razão é uma ferramenta que nos ajuda a decidir sobre a convergência ou divergência de séries com termos que crescem ou decrescem de forma exponencial ou fatorial. Ele funciona calculando o limite do quociente entre termos consecutivos da série. A regra é simples:
- Se o limite
for menor que 1, a série converge. - Se
for maior que 1, a série diverge. - Se
for igual a 1, o teste é inconclusivo.
Passo 3
Primeiro, identificamos o termo geral da série:
Em seguida, calculamos o próximo termo da série:
Passo 4
Agora, calculamos o quociente entre
e
:
Simplificando:
Passo 5
Vamos calcular o limite desse quociente quando
tende ao infinito:
Passo 6
Como o limite
é menor que 1, de acordo com o Teste da Razão, a série
converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Esboce o gráficos das seguintes funções (destacando, quando houver, máximos/mínimos e raízes), considerando
e
.
.
Esboce o gráficos das seguintes funções (destacando, quando houver, máximos/mínimos e raízes), considerando
e
.
.
Encontre as demais funções trigonométricas (seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante) para o ângulo
nos seguintes casos:
Em cada um dos Problemas 1a 6 :
a. Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular .
b. Determine a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação indicial.
c. Encontre a solução em série correspondente à maior raiz.
d. Se as raizes forem diferentes e não diferirem por um inteiro, encontre também a solução em série correspondente à menor raiz.
6.
a. Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular
b. Determine a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação indicial.
c. Encontre a solução em série
d. Se as raizes forem diferentes e não diferirem por um inteiro, encontre também a solução em série correspondente à menor raiz.
6.