Em cada um dos Problemas de 21 a 24, determine a ordem da equação diferencial e diga se ela é linear ou não linear. Derivadas parciais são denotadas por índices.
ll 21 ux x+uy y+uz z=0 & 22 ux u+uy y+u ux+u uy+u=0 23 ux u x+2 ux y y+uy y y=0 & 24 u1+u us=1+ux y

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício que você me enviou tem quatro equações diferenciais parciais (Problemas 21 a 24). Nosso objetivo é descobrir a ordem de cada uma dessas equações e dizer se elas são lineares ou não lineares. Para isso, vamos revisar alguns conceitos básicos:
  • Ordem da Equação Diferencial: É a ordem da mais alta derivada presente na equação.
  • Equação Linear: É uma equação onde a função desconhecida e suas derivadas aparecem apenas de forma linear (sem produtos ou potências da função e suas derivadas).
Vamos resolver cada problema passo a passo!

Passo 2

Problema 21:
uxx + uyy + uzz = 0
Determinação da Ordem:
  • As derivadas são , e , todas de segunda ordem.
  • Ordem: 2.
Verificação da Linearidade:
  • Cada termo é linear em relação a e suas derivadas.
  • Não há multiplicação entre e suas derivadas nem funções não lineares.
  • Linear.

Passo 3

Problema 22:
uxu + uyy + u ux + u uy + u = 0
Determinação da Ordem:
  • As derivadas envolvidas são e .
    • é uma derivada mista de primeira ordem em relação a e .
    • é de segunda ordem em relação a .
  • A derivada de maior ordem é de ordem 2.
  • Ordem: 2.
Verificação da Linearidade:
  • Os termos e envolvem produtos de com suas derivadas.
  • Isso torna a equação não linear.

Passo 4

Problema 23:
uxux + 2uxyy + uyyy = 0
Determinação da Ordem:
  • As derivadas são , e .
    • é uma derivada de terceira ordem (duas derivadas em e uma em ).
    • é de terceira ordem.
    • é de terceira ordem.
  • Ordem: 3.
Verificação da Linearidade:
  • Todos os termos são lineares em relação a e suas derivadas.
  • Não há multiplicações ou funções não lineares envolvendo .
  • Linear.

Passo 5

Problema 24:
u1 + u us = 1 + uxy
Determinação da Ordem:
  • As derivadas são e .
    • é uma derivada de primeira ordem.
    • é uma derivada mista de segunda ordem.
  • A derivada de maior ordem é de ordem 2.
  • Ordem: 2.
Verificação da Linearidade:
  • O termo envolve a multiplicação de com sua derivada, o que torna a equação não linear.

Resposta

  • Problema 21: Ordem 2, linear.
  • Problema 22: Ordem 2, não linear.
  • Problema 23: Ordem 3, linear.
  • Problema 24: Ordem 2, não linear.

Exercícios relacionados