Em cada um dos Problemas de 21 a 24, determine a ordem da equação diferencial e diga se ela é linear ou não linear. Derivadas parciais são denotadas por índices.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício que você me enviou tem quatro equações diferenciais parciais (Problemas 21 a 24). Nosso objetivo é descobrir a ordem de cada uma dessas equações e dizer se elas são lineares ou não lineares. Para isso, vamos revisar alguns conceitos básicos:
- Ordem da Equação Diferencial: É a ordem da mais alta derivada presente na equação.
- Equação Linear: É uma equação onde a função desconhecida e suas derivadas aparecem apenas de forma linear (sem produtos ou potências da função e suas derivadas).
Vamos resolver cada problema passo a passo!
Passo 2
Problema 21:
Determinação da Ordem:
- As derivadas são
, e , todas de segunda ordem. - Ordem: 2.
Verificação da Linearidade:
- Cada termo é linear em relação a
e suas derivadas. - Não há multiplicação entre
e suas derivadas nem funções não lineares. - Linear.
Passo 3
Problema 22:
Determinação da Ordem:
- As derivadas envolvidas são
e . -
é uma derivada mista de primeira ordem em relação a e . -
é de segunda ordem em relação a .
-
- A derivada de maior ordem é
de ordem 2. - Ordem: 2.
Verificação da Linearidade:
- Os termos
e envolvem produtos de com suas derivadas. - Isso torna a equação não linear.
Passo 4
Problema 23:
Determinação da Ordem:
- As derivadas são
, e . -
é uma derivada de terceira ordem (duas derivadas em e uma em ). -
é de terceira ordem. -
é de terceira ordem.
-
- Ordem: 3.
Verificação da Linearidade:
- Todos os termos são lineares em relação a
e suas derivadas. - Não há multiplicações ou funções não lineares envolvendo
. - Linear.
Passo 5
Problema 24:
Determinação da Ordem:
- As derivadas são
e . -
é uma derivada de primeira ordem. -
é uma derivada mista de segunda ordem.
-
- A derivada de maior ordem é
de ordem 2. - Ordem: 2.
Verificação da Linearidade:
- O termo
envolve a multiplicação de com sua derivada, o que torna a equação não linear.
Resposta
- Problema 21: Ordem 2, linear.
- Problema 22: Ordem 2, não linear.
- Problema 23: Ordem 3, linear.
- Problema 24: Ordem 2, não linear.