Calcule a derivada das seguintes funções:
w y = (x + 2) ^ x

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função . Isso envolve calcular a derivada de uma função em que tanto a base quanto o expoente dependem de . Para resolver isso, vamos usar a diferenciação logarítmica, uma técnica muito útil nesse tipo de situação.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural ( ) em ambos os lados da equação para facilitar a derivação:

Passo 3

Usando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente, temos:
Isso simplifica a expressão, tornando mais fácil diferenciar ambos os lados.

Passo 4

Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a . No lado esquerdo, usaremos a regra da cadeia, e no lado direito, a regra do produto:

Passo 5

Derivando o lado esquerdo usando a regra da cadeia:
No lado direito, aplicamos a regra do produto, que nos dá duas partes:
Simplificando:

Passo 6

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:

Passo 7

Para encontrar , multiplicamos ambos os lados por :

Passo 8

Lembrando que , substituímos de volta na expressão:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados