Calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função
. Isso envolve calcular a derivada de uma função em que tanto a base quanto o expoente dependem de
. Para resolver isso, vamos usar a diferenciação logarítmica, uma técnica muito útil nesse tipo de situação.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural (
) em ambos os lados da equação para facilitar a derivação:
Passo 3
Usando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente, temos:
Isso simplifica a expressão, tornando mais fácil diferenciar ambos os lados.
Passo 4
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a
. No lado esquerdo, usaremos a regra da cadeia, e no lado direito, a regra do produto:
Passo 5
Derivando o lado esquerdo usando a regra da cadeia:
No lado direito, aplicamos a regra do produto, que nos dá duas partes:
Simplificando:
Passo 6
Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
Passo 7
Para encontrar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 8
Lembrando que
, substituímos de volta na expressão:
Resposta
A derivada da função
é: