lim x +infty raizx^2+x+1x+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício pertence à área de Cálculo, especificamente ao estudo de limites no infinito. Para resolver, vamos precisar usar algumas propriedades de limites e manipulação algébrica de expressões com raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada. Observe que raizx^2 + x + 1 = raizx^2(1 + 1x + 1x^2) pode ser reescrita fatorando o :

Passo 3

Agora, podemos tirar o raizx^2(1 + 1x + 1x^2) = x raiz1 + 1x + 1x^2 de dentro da raiz, lembrando que para :

Passo 4

Substituindo de volta na fração original, temos:
raizx^2 + x + 1x + 1 = x raiz1 + 1x + 1x^2x + 1

Passo 5

Para simplificar ainda mais, vamos dividir o numerador e o denominador por x raiz1 + 1x + 1x^2x + 1 = raiz1 + 1x + 1x^21 + 1x :

Passo 6

Agora, vamos analisar o comportamento de cada termo quando raiz1 + 0 + 01 + 0 = raiz11 = 11 = 1 tende ao infinito:
Portanto, a expressão dentro da raiz e o denominador se simplificam para:

Resposta

O limite é igual a .

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