Em cada um dos Problemas de 21 a 24, determine a ordem da equação diferencial e diga se ela é linear ou não linear. Derivadas parciais são denotadas por índices.
24. u1 + u us = 1 + u xs

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para identificar a ordem da equação diferencial dada e dizer se ela é linear ou não linear. A equação que temos é:
Aqui, as derivadas parciais são representadas por índices. Vamos precisar entender o que cada termo representa e como identificar a ordem e a linearidade da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar os índices das derivadas:
  • significa a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
  • é a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
  • é a derivada parcial mista de em relação a e , ou seja, .
Substituindo essas interpretações na equação, temos:

Passo 3

Agora, vamos determinar a ordem da equação diferencial. A ordem de uma equação diferencial é dada pela maior ordem da derivada presente na equação. Observando:
  • é de primeira ordem.
  • também é de primeira ordem.
  • é de segunda ordem.
Portanto, a ordem da equação é segunda ordem.

Passo 4

Em seguida, vamos verificar se a equação é linear ou não linear. Uma equação diferencial é linear se ela pode ser escrita de forma que todas as potências de e suas derivadas sejam de primeiro grau e não haja produtos entre elas.
Na nossa equação:
O termo é um produto entre e sua derivada, o que torna a equação não linear.

Resposta

A equação diferencial dada é de segunda ordem e é não linear.

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