Determine a inclinação da reta tangente à curva gerada pela interseção do gráfico da função: com o plano , no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a inclinação da reta tangente à curva que resulta da interseção do gráfico da função com o plano , no ponto . Basicamente, vamos precisar entender derivadas parciais e como elas nos ajudam a achar essa inclinação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a interseção da função com o plano . Isso quer dizer que vamos fixar na função, deixando variar. Então, substituindo por 4 na função, temos:
Agora, nossa função reduzida é , onde é a variável que muda.
Passo 3
Queremos achar a inclinação da reta tangente a essa curva no ponto dado . A inclinação da reta tangente aqui se refere à derivada de em relação a , ou seja, . Essa derivada nos dá a taxa de variação de quando muda, exatamente o que precisamos para a inclinação.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de em relação a . Reescrevendo a função para facilitar a derivação:
A derivada de em relação a é . Aplicando isso:
Passo 5
Agora, substituímos o valor de na derivada para encontrar a inclinação no ponto específico: