Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o limite de uma função de duas variáveis quando se aproxima de . A função é:
Para resolver isso, vamos precisar entender como cada parte dessa função se comporta quando e vão pro zero. Vai ser útil lembrar sobre limites de funções de duas variáveis e como analisar cada termo separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir a função em duas partes para facilitar:
Vamos analisar cada uma delas separadamente.
Passo 3
Analisando a primeira parte:
Quando e se aproximam de 0, tanto o numerador quanto o denominador também se aproximam de 0. Mas queremos entender o comportamento dessa fração. Podemos fazer uma estimativa:
Isso mostra que é limitado por , que vai para 0 quando vai para 0. Portanto:
Analisando a segunda parte:
Quando e se aproximam de 0, a expressão dentro do quadrado fica:
Então, ao quadrado:
Passo 4
Agora que sabemos o comportamento das duas partes, vamos somar os limites: