Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) (0,0) x^2 yx^2+|y|+(x+y-1)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o limite de uma função de duas variáveis quando lim (x, y) (0,0) x^2 yx^2+|y|+(x+y-1)^2 se aproxima de . A função é:
Para resolver isso, vamos precisar entender como cada parte dessa função se comporta quando e vão pro zero. Vai ser útil lembrar sobre limites de funções de duas variáveis e como analisar cada termo separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a função em duas partes para facilitar:
Vamos analisar cada uma delas separadamente.

Passo 3

Analisando a primeira parte: | x^2 yx^2+|y| | <= x^2 |y||y| = x^2
Quando lim (x, y) (0,0) x^2 yx^2+|y| = 0 e x + y - 1 0 + 0 - 1 = -1 se aproximam de 0, tanto o numerador (x + y - 1)^2 (-1)^2 = 1 quanto o denominador também se aproximam de 0. Mas queremos entender o comportamento dessa fração. Podemos fazer uma estimativa:
Isso mostra que é limitado por , que vai para 0 quando vai para 0. Portanto:
Analisando a segunda parte:
Quando e se aproximam de 0, a expressão dentro do quadrado fica:
Então, ao quadrado:

Passo 4

Agora que sabemos o comportamento das duas partes, vamos somar os limites:
lim (x, y) (0,0) x^2 yx^2+|y| + lim (x, y) (0,0) (x + y - 1)^2 = 0 + 1 = 1

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados

Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) (0,0) x^3x^3+y^2
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) (1,0) (x-1)^2 y(x-1)^4+y^2
Em cada um dos Problemas de 21 a 24, determine a ordem da equação diferencial e diga se ela é linear ou não linear. Derivadas parciais são denotadas por índices.
22. u_xx + u_xy + u * u_x + u * u_y + u = 0
Em cada um dos Problemas de 21 a 24, determine a ordem da equação diferencial e diga se ela é linear ou não linear. Derivadas parciais são denotadas por índices.
24. u1 + u us = 1 + u xs