Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto
. Justifique.
.
Passo 1
Então, a gente tem que verificar se a função
é diferenciável no ponto
. Diferenciabilidade envolve calcular as derivadas parciais e ver se elas existem e são contínuas nesse ponto. Vamos precisar usar conceitos de cálculo de derivadas parciais e entender o que significa uma função ser diferenciável.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, chamada de
. Isso significa que tratamos
como uma constante e derivamos em relação a
.
Usando a regra do produto:
No ponto
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, chamada de
. Aqui, tratamos
como constante e derivamos em relação a
.
No ponto
:
Passo 4
Depois de encontrarmos as derivadas parciais, precisamos verificar se elas são contínuas no ponto
. As funções exponencial e cosseno são contínuas em todo lugar, assim como suas combinações. Além disso, os termos envolvendo
e
também são contínuos.
Passo 5
Como as derivadas parciais
e
existem e são contínuas no ponto
, podemos concluir que a função
é diferenciável nesse ponto.
Resposta
A função
é diferenciável no ponto
.