Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto P. Justifique.
f(x, y) = e^x cos(x y), P = (0, 0).

Passo 1

Então, a gente tem que verificar se a função é diferenciável no ponto . Diferenciabilidade envolve calcular as derivadas parciais e ver se elas existem e são contínuas nesse ponto. Vamos precisar usar conceitos de cálculo de derivadas parciais e entender o que significa uma função ser diferenciável.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , chamada de . Isso significa que tratamos como uma constante e derivamos em relação a .
Usando a regra do produto:
No ponto :

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , chamada de . Aqui, tratamos como constante e derivamos em relação a .
No ponto :

Passo 4

Depois de encontrarmos as derivadas parciais, precisamos verificar se elas são contínuas no ponto . As funções exponencial e cosseno são contínuas em todo lugar, assim como suas combinações. Além disso, os termos envolvendo e também são contínuos.

Passo 5

Como as derivadas parciais e existem e são contínuas no ponto , podemos concluir que a função é diferenciável nesse ponto.

Resposta

A função é diferenciável no ponto .

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