Em cada um dos Problemas de 21 a 24, determine a ordem da equação diferencial e diga se ela é linear ou não linear. Derivadas parciais são denotadas por índices.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial parcial e precisa descobrir duas coisas: a ordem dela e se ela é linear ou não linear. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais parciais, focando em identificar a ordem das derivadas presentes e analisar como elas aparecem na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre ordem da equação diferencial. A ordem é o maior número de derivadas que aparecem na equação. Por exemplo, se a equação tem uma derivada segunda e uma derivada terceira, a ordem é três.

Passo 3

Agora, sobre linearidade. Uma equação diferencial é linear se ela pode ser escrita de forma que todas as derivadas de apareçam apenas de forma linear, ou seja, sem serem multiplicadas entre si ou passarem por funções não lineares. Se tiver qualquer produto ou função não linear das derivadas, a equação é não linear.

Passo 4

Vamos aplicar isso na sua equação:
Parece que há um pequeno erro de digitação em . Provavelmente, você quis dizer , que é a segunda derivada de em relação a . Então, reescrevendo:

Passo 5

Agora, identificamos as ordens das derivadas:
  • é de segunda ordem.
  • é de quarta ordem (derivada primeira em e terceira em ).
  • é de terceira ordem.
O maior número de derivadas é quatro, então a ordem da equação é 4.

Passo 6

Para verificar a linearidade, observamos que todas as derivadas de aparecem apenas uma vez e não estão multiplicadas entre si ou dentro de funções complicadas. Cada termo é apenas uma derivada multiplicada por uma constante.
Portanto, a equação é linear.

Resposta

A equação diferencial é de quarta ordem e é linear.

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