Em cada um dos Problemas de 25 a 28 , verifique que cada função dada é uma solução da equação diferencial.
alpha^2 ux x=ui ; u1(x, t)=e^-alpha^2 1 sen x, u2(x, t)=e^-alpha^2 lambda^2 t sen lambda x, lambda uma constante real

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se duas funções dadas são soluções de uma equação diferencial específica. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Parciais (EDPs). Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas das funções em relação às variáveis dadas e substituir na equação para ver se tudo confere.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação diferencial que temos:
alpha^2 uxx = ut
Aqui, é a segunda derivada de em relação a e é a derivada de em relação ao tempo . Nosso objetivo é verificar se as funções e satisfazem essa equação.

Passo 3

Vamos começar com a primeira função:
u1(x, t) = e^-alpha^2 t sin x
Primeiro, calculamos ut = partialpartial t ( e^-alpha^2 t sin x ) = -alpha^2 e^-alpha^2 t sin x :
uxx = partial^2partial x^2 ( e^-alpha^2 t sin x ) = e^-alpha^2 t partial^2partial x^2 (sin x) = -e^-alpha^2 t sin x
Agora, calculamos :

Passo 4

Substituímos alpha^2 uxx = alpha^2 (-e^-alpha^2 t sin x) = -alpha^2 e^-alpha^2 t sin x e alpha^2 uxx = ut na equação diferencial:
Comparando com , vemos que:
Então, a função satisfaz a equação diferencial.

Passo 5

Agora, vamos verificar a segunda função:
u2(x, t) = e^-alpha^2 lambda^2 t sin (lambda x)
Primeiro, calculamos ut = partialpartial t ( e^-alpha^2 lambda^2 t sin (lambda x) ) = -alpha^2 lambda^2 e^-alpha^2 lambda^2 t sin (lambda x) :
uxx = partial^2partial x^2 ( e^-alpha^2 lambda^2 t sin (lambda x) ) = e^-alpha^2 lambda^2 t partial^2partial x^2 (sin (lambda x)) = -lambda^2 e^-alpha^2 lambda^2 t sin (lambda x)
Agora, calculamos :

Passo 6

Substituímos alpha^2 uxx = alpha^2 (-lambda^2 e^-alpha^2 lambda^2 t sin (lambda x)) = -alpha^2 lambda^2 e^-alpha^2 lambda^2 t sin (lambda x) e alpha^2 uxx = ut na equação diferencial:
Comparando com , temos:
Portanto, a função também satisfaz a equação diferencial.

Resposta

Ambas as funções e são soluções da equação diferencial .

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