A v.a. X tem valores 1 , 2 e 3 com probabilidades e 1/3. Calcule os valores médio (esperado) e da variância de . Determine a distribuição de probabilidade da Média , de uma amostra (aleatória) de 2 itens extraídos dessa população, um após o outro e com devolução à população antes da extração do próximo (amostragem com reposição à população). Calcule o Valor Esperado (Médio) e o Valor da Variância da v.a. X (população) e da v.a. Média Amostral . Que relação você enxerga entre os valores esperados, e entre os das variâncias, de X e de

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória que pode assumir os valores 1, 2 e 3, cada um com probabilidade de . Vamos calcular o valor esperado (média) e a variância de . Depois, vamos ver como fica a distribuição da média amostral quando pegamos uma amostra de 2 itens com reposição. Para tudo isso, vamos usar conceitos básicos de estatística como esperança, variância e propriedades das médias amostrais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor esperado de , que é basicamente a média ponderada dos valores que pode assumir. A fórmula é:
Onde são os valores possíveis e são as probabilidades.
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a variância de , que mede o quanto os valores de se desviam da média. A fórmula é:
Primeiro, calculamos :
Então, a variância é:

Passo 4

Agora, vamos determinar a distribuição de probabilidade da média amostral quando pegamos uma amostra de 2 itens com reposição. Como estamos fazendo com reposição, as duas extrações são independentes.
Os possíveis pares de valores são:
Cada par tem probabilidade porque há 9 combinações iguais.
Vamos calcular a média para cada par:
Então:
Agora, vamos contar quantas vezes cada média aparece:
Então, a distribuição de é:

Passo 5

Vamos calcular o valor esperado da média amostral . A propriedade importante aqui é que o valor esperado da média amostral é igual ao valor esperado da população. Mas vamos confirmar isso.
Usando a distribuição que encontramos:
Calculando:
Então, .

Passo 6

Agora, vamos calcular a variância da média amostral . A fórmula para a variância da média amostral em amostragem com reposição é:
Onde é o tamanho da amostra. Aqui, .
Então:
Vamos conferir isso usando a distribuição de :
Primeiro, calculamos :
Calculando:
Então:

Passo 7

Por fim, vamos ver a relação entre os valores esperados e as variâncias de e :
  • Valor Esperado: . Isso mostra que a média amostral é um estimador não viesado da média populacional.
  • Variância: . A variância da média amostral é menor que a variância da população e diminui conforme aumentamos o tamanho da amostra. Isso indica que a média amostral se torna mais precisa à medida que aumentamos o número de amostras.

Resposta

A média amostral tem o mesmo valor esperado que a população , e sua variância é dividida pelo tamanho da amostra, tornando-a mais precisa.

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