Utilize a fórmula do Exercício 61(d) para calcular a torção da curva r(t) = <t, 1/2 * t^2, 1/3 * t^3>

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra calcular a torção da curva dada por . Vamos precisar usar a fórmula da torção, que geralmente envolve derivadas da função vetorial da curva. Então, vamos seguir passo a passo para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função vetorial , que representa a velocidade da curva. Calculando cada componente:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada, que representa a aceleração:

Passo 4

Em seguida, calculamos a terceira derivada da função vetorial:

Passo 5

A fórmula da torção é dada por:
Vamos calcular o produto vetorial :

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto escalar desse resultado com :

Passo 7

Em seguida, calculamos o módulo do produto vetorial :
Então, o quadrado do módulo é:

Passo 8

Finalmente, substituímos tudo na fórmula da torção:

Resposta

A torção da curva é .

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