Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.
21.
21.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício 21 que pede para encontrar a transformada de Laplace da função
definida por:
Aqui, estamos trabalhando com a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a definição da transformada de Laplace a uma função definida por partes.
Passo 2
A Transformada de Laplace de uma função
é dada pela integral:
No nosso caso,
é igual a 1 de 0 até
e 0 depois disso. Então, podemos ajustar os limites da integral para considerar apenas onde
é diferente de zero.
Passo 3
Como
quando
e
quando
, a integral fica:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral:
A antiderivada de
em relação a
é
. Então, avaliamos de 0 a
:
Resposta
A transformada de Laplace da função
é:
Exercícios relacionados
(a)
Exercício 1.10. Para quaisquer números reais
e
, denote por
o maior dentre eles. Por exemplo,
. Considere a função
.
(d) Encontre a imagem de .
(d) Encontre a imagem de
Calcule o comprimento do arco das seguintes curvas:
,
.
Considerando
e
, calcule a curvatura das seguintes curvas: