Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.
21. f(t) = { 1, 0 <= t < pi; 0, pi <= t < infinito }

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício 21 que pede para encontrar a transformada de Laplace da função definida por:
Aqui, estamos trabalhando com a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a definição da transformada de Laplace a uma função definida por partes.

Passo 2

A Transformada de Laplace de uma função é dada pela integral:
No nosso caso, é igual a 1 de 0 até e 0 depois disso. Então, podemos ajustar os limites da integral para considerar apenas onde é diferente de zero.

Passo 3

Como quando e quando , a integral fica:
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral:
A antiderivada de em relação a é . Então, avaliamos de 0 a :

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

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