Calcule o comprimento do arco das seguintes curvas:
,
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o comprimento do arco da curva dada por
quando
varia de 0 a 1. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo, especificamente sobre cálculo de comprimento de arco de curvas paramétricas. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco para parametrizações no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento do arco de uma curva parametrizada por
no intervalo de
a
. A fórmula é:
Isso basicamente soma todas as pequenas “partes” do arco para encontrar o comprimento total.
Passo 3
Agora, vamos identificar as funções
e
na nossa curva:
Precisamos calcular as derivadas dessas funções em relação a
.
Passo 4
Calculando as derivadas:
Lembrando que a derivada de
é
e a derivada de
é
.
Passo 5
Substituindo as derivadas na fórmula do comprimento do arco:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Sabemos que
, mas vamos reorganizar a expressão para facilitar a integração:
Não há uma simplificação direta que possibilite uma anti-derivada simples, então geralmente esse tipo de integral é resolvido numericamente ou expressa em termos de funções especiais.
Passo 7
Portanto, o comprimento do arco é dado por:
Essa integral pode ser avaliada numericamente para obter um valor aproximado.
Resposta
O comprimento do arco da curva
no intervalo
é dado por:
Esse valor pode ser calculado numericamente para obter o resultado final.
Exercícios relacionados
Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.
21.
21.
(a)
Considerando
e
, calcule a curvatura das seguintes curvas:
Seja
uma curva parametrizada pelo comprimento de arco. Mostre que, para todo
, onde
é a curvatura em
;