Calcule o comprimento do arco das seguintes curvas: , .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o comprimento do arco da curva dada por quando varia de 0 a 1. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo, especificamente sobre cálculo de comprimento de arco de curvas paramétricas. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco para parametrizações no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento do arco de uma curva parametrizada por no intervalo de a . A fórmula é:
Isso basicamente soma todas as pequenas “partes” do arco para encontrar o comprimento total.

Passo 3

Agora, vamos identificar as funções e na nossa curva:
Precisamos calcular as derivadas dessas funções em relação a .

Passo 4

Calculando as derivadas:
Lembrando que a derivada de é e a derivada de é .

Passo 5

Substituindo as derivadas na fórmula do comprimento do arco:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Sabemos que , mas vamos reorganizar a expressão para facilitar a integração:
Não há uma simplificação direta que possibilite uma anti-derivada simples, então geralmente esse tipo de integral é resolvido numericamente ou expressa em termos de funções especiais.

Passo 7

Portanto, o comprimento do arco é dado por:
Essa integral pode ser avaliada numericamente para obter um valor aproximado.

Resposta

O comprimento do arco da curva no intervalo é dado por:
Esse valor pode ser calculado numericamente para obter o resultado final.

Exercícios relacionados

Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.
21.
(a)
Considerando e , calcule a curvatura das seguintes curvas:
Seja uma curva parametrizada pelo comprimento de arco. Mostre que, para todo , onde é a curvatura em ;