Exercício 1.10. Para quaisquer números reais
e
, denote por
o maior dentre eles. Por exemplo,
. Considere a função
.
(d) Encontre a imagem de
.
(d) Encontre a imagem de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
e precisa descobrir qual é a imagem dela, ou seja, todos os possíveis valores que
pode assumir. Para isso, vamos usar conceitos de funções máximas e analisar o comportamento de
e
dependendo do valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender para quais valores de
a função
está definida. Como temos
na função,
não pode ser zero, porque divisão por zero é indefinida. Então, o domínio da função é
com
.
Passo 3
Agora, vamos dividir a análise em duas partes: quando
é positivo (
) e quando
é negativo (
).
Passo 4
Para
:
- Se
, então . Como , temos . - Se
, então . Assim, . - Se
, então . Nesse caso, .
Então, para
, os valores de
são todos os números maiores ou iguais a 1, ou seja,
.
Passo 5
Para
:
Quando
é negativo, tanto
quanto
são negativos. A função
vai escolher o número que está mais próximo de zero, porque ele é maior em termos de valor real (menos negativo).
Por exemplo:
- Se
, então . Aqui, , então . - Se
, então . Assim, .
Independentemente do valor negativo de
,
sempre será o valor mais próximo de zero, mas nunca alcança zero porque
não pode ser zero.
Passo 6
Juntando as duas análises:
- Para
, . - Para
, .
Portanto, todos os valores possíveis de
estão nos intervalos
e
.
Resposta
A imagem da função
é
.