Exercício 1.10. Para quaisquer números reais e , denote por o maior dentre eles. Por exemplo, . Considere a função .
(d) Encontre a imagem de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função e precisa descobrir qual é a imagem dela, ou seja, todos os possíveis valores que pode assumir. Para isso, vamos usar conceitos de funções máximas e analisar o comportamento de e dependendo do valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender para quais valores de a função está definida. Como temos na função, não pode ser zero, porque divisão por zero é indefinida. Então, o domínio da função é com .

Passo 3

Agora, vamos dividir a análise em duas partes: quando é positivo ( ) e quando é negativo ( ).

Passo 4

Para :
  • Se , então . Como , temos .
  • Se , então . Assim, .
  • Se , então . Nesse caso, .
Então, para , os valores de são todos os números maiores ou iguais a 1, ou seja, .

Passo 5

Para :
Quando é negativo, tanto quanto são negativos. A função vai escolher o número que está mais próximo de zero, porque ele é maior em termos de valor real (menos negativo).
Por exemplo:
  • Se , então . Aqui, , então .
  • Se , então . Assim, .
Independentemente do valor negativo de , sempre será o valor mais próximo de zero, mas nunca alcança zero porque não pode ser zero.

Passo 6

Juntando as duas análises:
  • Para , .
  • Para , .
Portanto, todos os valores possíveis de estão nos intervalos e .

Resposta

A imagem da função é .

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(a)
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21.