Considerando
e
, calcule a curvatura das seguintes curvas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa calcular a curvatura da curva dada pela função paramétrica
, onde
. A curvatura nos diz o quanto uma curva está “curvando” em cada ponto. Para isso, vamos usar a fórmula da curvatura para curvas paramétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para a curvatura
de uma curva paramétrica
. A fórmula é:
Essa fórmula envolve as primeiras e segundas derivadas das funções
e
.
Passo 3
Vamos identificar
e
na nossa função:
Agora, vamos calcular as primeiras derivadas
e
:
Passo 4
Em seguida, calculamos as segundas derivadas
e
:
Passo 5
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da curvatura:
Simplificando os termos:
Passo 6
Vamos simplificar ainda mais. Sabemos que
, então:
Simplificando os
:
Como a curvatura é uma medida positiva, podemos ignorar o sinal negativo:
Passo 7
Finalmente, simplificamos
que é igual a
:
Resposta
A curvatura da curva
é: