Considerando a > 0, b > 0 e r > 0, calcule a curvatura das seguintes curvas: f(t) = (r(t - sen(t)), r(1 - cos(t)))

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa calcular a curvatura da curva dada pela função paramétrica , onde . A curvatura nos diz o quanto uma curva está “curvando” em cada ponto. Para isso, vamos usar a fórmula da curvatura para curvas paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para a curvatura de uma curva paramétrica . A fórmula é:
Essa fórmula envolve as primeiras e segundas derivadas das funções e .

Passo 3

Vamos identificar e na nossa função:
Agora, vamos calcular as primeiras derivadas e :

Passo 4

Em seguida, calculamos as segundas derivadas e :

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da curvatura:
Simplificando os termos:

Passo 6

Vamos simplificar ainda mais. Sabemos que , então:
Simplificando os :
Como a curvatura é uma medida positiva, podemos ignorar o sinal negativo:

Passo 7

Finalmente, simplificamos que é igual a :

Resposta

A curvatura da curva é:

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