Um indivíduo partindo de um ponto A quer chegar a um ponto B[Veja a Figura 1] no menor tempo possível. Ele caminha a uma velocidade
no terreno sombreado, e a
na estrada OB. Admita que ele parte de A e caminha em linha reta até chegar em OB. Como deve o indivíduo proceder?
Figura 1: scale
Passo 1
Vamos começar entendendo o que foi pedido no exercício. Temos um indivíduo que quer viajar do ponto A até o ponto B no menor tempo possível. Ele pode caminhar em dois tipos de terreno: no terreno sombreado, sua velocidade é
e na estrada OB, sua velocidade aumenta para
. Precisamos descobrir qual o melhor caminho que ele deve seguir para chegar mais rápido ao destino.
Passo 2
Para resolver isso, vamos pensar em dividir a jornada em duas partes: primeiro, caminhando no terreno sombreado até um ponto C na estrada OB, e depois, seguindo pela estrada até o ponto B. Nosso objetivo é encontrar a localização desse ponto C que minimize o tempo total da viagem.
Passo 3
Vamos chamar a distância entre A e O (ponto de início da estrada OB) de
. Suponha que o indivíduo caminhe do ponto A até um ponto C na estrada OB, que está a uma distância
de O. Assim, a distância que ele percorre no terreno sombreado é
(usando o teorema de Pitágoras, assumindo que A, O e C formam um triângulo retângulo).
Passo 4
Agora, vamos calcular o tempo que o indivíduo leva para percorrer cada trecho:
- Tempo no terreno sombreado:
- Tempo na estrada OB:
, onde é a distância total da estrada OB.
Passo 5
O tempo total da viagem será a soma desses dois tempos:
Queremos encontrar o valor de
que minimiza
.
Passo 6
Para minimizar
, derivamos essa expressão em relação a
e igualamos a zero:
Calculando a derivada:
Passo 7
Resolvendo para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Subtraindo
de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por
:
Tirando a raiz quadrada:
Passo 8
Com o valor de
encontrado, sabemos que o indivíduo deve caminhar do ponto A até um ponto C na estrada OB que está a uma distância de
de O. Depois, ele deve seguir pela estrada OB até o ponto B.
Resposta
O indivíduo deve caminhar em linha reta do ponto A até um ponto C na estrada OB localizado a uma distância de
de O, e então seguir pela estrada até o ponto B, minimizando assim o tempo total da viagem.
Exercícios relacionados
5a. Resolva a equação mais simples
Denote a solução por
.
Em cada um dos Problemas de 22 a 25, desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada. Baseado no campo de direções, determine 0 comportamento de
quando
. Se esse comportamento depender do valor inicial de y em
, descreva essa dependência. Note que a expressão à direita do sinal de igualdade nessas equações depende de
, além de
; portanto, suas soluções podem exibir um comportamento mais complicado do que as no texto.
22.
22.
Determine o trabalho realizado pelo campo de força
sobre um objeto que se move sobre um arco da cicloide
.
Represente por uma integral cosseno ou uma integral seno adequada.
e)
e)