Um indivíduo partindo de um ponto A quer chegar a um ponto B[Veja a Figura 1] no menor tempo possível. Ele caminha a uma velocidade no terreno sombreado, e a na estrada OB. Admita que ele parte de A e caminha em linha reta até chegar em OB. Como deve o indivíduo proceder?
Figura 1: scale

Passo 1

Vamos começar entendendo o que foi pedido no exercício. Temos um indivíduo que quer viajar do ponto A até o ponto B no menor tempo possível. Ele pode caminhar em dois tipos de terreno: no terreno sombreado, sua velocidade é e na estrada OB, sua velocidade aumenta para . Precisamos descobrir qual o melhor caminho que ele deve seguir para chegar mais rápido ao destino.

Passo 2

Para resolver isso, vamos pensar em dividir a jornada em duas partes: primeiro, caminhando no terreno sombreado até um ponto C na estrada OB, e depois, seguindo pela estrada até o ponto B. Nosso objetivo é encontrar a localização desse ponto C que minimize o tempo total da viagem.

Passo 3

Vamos chamar a distância entre A e O (ponto de início da estrada OB) de . Suponha que o indivíduo caminhe do ponto A até um ponto C na estrada OB, que está a uma distância de O. Assim, a distância que ele percorre no terreno sombreado é (usando o teorema de Pitágoras, assumindo que A, O e C formam um triângulo retângulo).

Passo 4

Agora, vamos calcular o tempo que o indivíduo leva para percorrer cada trecho:
  • Tempo no terreno sombreado:
  • Tempo na estrada OB: , onde é a distância total da estrada OB.

Passo 5

O tempo total da viagem será a soma desses dois tempos:
Queremos encontrar o valor de que minimiza .

Passo 6

Para minimizar , derivamos essa expressão em relação a e igualamos a zero:
Calculando a derivada:

Passo 7

Resolvendo para :
Multiplicando ambos os lados por :
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Subtraindo de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por :
Tirando a raiz quadrada:

Passo 8

Com o valor de encontrado, sabemos que o indivíduo deve caminhar do ponto A até um ponto C na estrada OB que está a uma distância de de O. Depois, ele deve seguir pela estrada OB até o ponto B.

Resposta

O indivíduo deve caminhar em linha reta do ponto A até um ponto C na estrada OB localizado a uma distância de de O, e então seguir pela estrada até o ponto B, minimizando assim o tempo total da viagem.

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22.
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Represente por uma integral cosseno ou uma integral seno adequada.
e)