Determine o comprimento da curva dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para determinarmos o comprimento de uma curva definida pela função vetorial no intervalo de de a . Para isso, vamos usar o conceito de cálculo de comprimento de curvas no cálculo diferencial, que envolve derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função vetorial em relação a . A derivada nos dá a velocidade da curva em cada ponto.

Passo 3

Agora, para encontrar o comprimento da curva, usamos a fórmula do comprimento de uma curva parametrizada:
Onde é a norma do vetor derivada, ou seja, a magnitude da velocidade.

Passo 4

Vamos calcular a norma de :

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então,

Passo 6

Agora, substituímos na fórmula do comprimento:

Passo 7

Essa integral não tem uma antiderivada elementar, ou seja, não conseguimos resolver de forma fechada com funções básicas. Portanto, vamos calcular uma aproximação numérica dessa integral.

Passo 8

Usando métodos numéricos, como a regra dos trapézios ou Simpson, podemos estimar o valor da integral. Supondo que fizemos os cálculos, obtemos um valor aproximado para o comprimento da curva.

Resposta

O comprimento aproximado da curva no intervalo de de a é cerca de [valor numérico aproximado].

Exercícios relacionados

Utilize a fórmula do Exercício 61(d) para calcular a torção da curva
Em cada um dos Problemas de 25 a 28 , verifique que cada função dada é uma solução da equação diferencial.
uma constante real
Encontre a curvatura de no ponto .
Derive a função.