Determine o comprimento da curva dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para determinarmos o comprimento de uma curva definida pela função vetorial
no intervalo de
de
a
. Para isso, vamos usar o conceito de cálculo de comprimento de curvas no cálculo diferencial, que envolve derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função vetorial
em relação a
. A derivada
nos dá a velocidade da curva em cada ponto.
Passo 3
Agora, para encontrar o comprimento da curva, usamos a fórmula do comprimento de uma curva parametrizada:
Onde
é a norma do vetor derivada, ou seja, a magnitude da velocidade.
Passo 4
Vamos calcular a norma de
:
Passo 5
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então,
Passo 6
Agora, substituímos na fórmula do comprimento:
Passo 7
Essa integral não tem uma antiderivada elementar, ou seja, não conseguimos resolver de forma fechada com funções básicas. Portanto, vamos calcular uma aproximação numérica dessa integral.
Passo 8
Usando métodos numéricos, como a regra dos trapézios ou Simpson, podemos estimar o valor da integral. Supondo que fizemos os cálculos, obtemos um valor aproximado para o comprimento da curva.
Resposta
O comprimento aproximado da curva
no intervalo de
de
a
é cerca de [valor numérico aproximado].
Exercícios relacionados
Utilize a fórmula do Exercício 61(d) para calcular a torção da curva
Em cada um dos Problemas de 25 a 28 , verifique que cada função dada é uma solução da equação diferencial.
uma constante real
Encontre a curvatura de
no ponto
.
Derive a função.