Em cada um dos Problemas de 25 a 31 , encontre um fator integrante e resolva a equação.
27.
27.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial:
O objetivo aqui é encontrar um fator integrante que vai nos ajudar a resolver essa equação. A matéria envolvida é Equações Diferenciais Ordinárias, especificamente lidando com equações exatas e como torná-las exatas usando fatores integrantes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar. Podemos considerar a equação na forma padrão:
Onde:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos ver se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
:
Como
, a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 4
Vamos supor que o fator integrante
depende apenas de
. Multiplicando a equação original por
:
Para que a equação seja exata, deve valer:
Substituindo
e
:
Passo 5
Essa é uma equação diferencial para
. Podemos resolver separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Exponenciando:
Podemos escolher
para simplificar, então:
Passo 6
Agora, multiplicamos a equação original por
:
Vamos chamar isso de:
Onde:
Passo 7
Verificamos novamente se a equação é exata:
Como
, a equação agora é exata. Isso significa que existe uma função
tal que:
Passo 8
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso nos dá:
Passo 9
Integrando
em relação a
:
Usamos a integração por partes:
-
→ -
→
Então:
Passo 10
Substituindo
de volta na expressão de
:
Como
, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Em cada um dos Problemas de 1 a 8, resolva a equação diferencial dada.
Em cada um dos Problemas de 1 a 8, resolva a equação diferencial dada.
Em cada um dos Problemas de 1 a 32 , resolva a equação diferencial. Se for dada uma condição inicial, encontre, também, a solução.
Determine o domínio das funções abaixo: