Em cada um dos Problemas de 25 a 31 , encontre um fator integrante e resolva a equação.
27.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial:
O objetivo aqui é encontrar um fator integrante que vai nos ajudar a resolver essa equação. A matéria envolvida é Equações Diferenciais Ordinárias, especificamente lidando com equações exatas e como torná-las exatas usando fatores integrantes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar. Podemos considerar a equação na forma padrão:
Onde:

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos ver se a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a :
Como , a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 4

Vamos supor que o fator integrante depende apenas de . Multiplicando a equação original por :
Para que a equação seja exata, deve valer:
Substituindo e :

Passo 5

Essa é uma equação diferencial para . Podemos resolver separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Exponenciando:
Podemos escolher para simplificar, então:

Passo 6

Agora, multiplicamos a equação original por :
Vamos chamar isso de:
Onde:

Passo 7

Verificamos novamente se a equação é exata:
Como , a equação agora é exata. Isso significa que existe uma função tal que:

Passo 8

Vamos encontrar integrando em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso nos dá:

Passo 9

Integrando em relação a :
Usamos a integração por partes:
Então:

Passo 10

Substituindo de volta na expressão de :
Como , podemos escrever a solução geral da equação diferencial:

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Em cada um dos Problemas de 1 a 8, resolva a equação diferencial dada.
Em cada um dos Problemas de 1 a 8, resolva a equação diferencial dada.
Em cada um dos Problemas de 1 a 32 , resolva a equação diferencial. Se for dada uma condição inicial, encontre, também, a solução.
Determine o domínio das funções abaixo: