Em cada um dos Problemas de 1 a 8, resolva a equação diferencial dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial para resolver:
Isso pertence ao conteúdo de Equações Diferenciais Ordinárias, especificamente uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais separáveis, que nos permitem separar as variáveis
e
para integrar cada lado.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar
:
Agora, a gente tem a derivada de
em termos de
e
. Queremos separar as variáveis
e
para facilitar a integração.
Passo 3
Vamos separar as variáveis
e
. Dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Agora, cada lado da equação tem apenas uma variável, o que facilita a integração.
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados:
A integral de
em relação a
e a integral de em relação a
são diretas.
Passo 5
Calculando as integrais:
Para a esquerda:
Para a direita:
Aqui,
e
são constantes de integração.
Passo 6
Vamos juntar as duas partes:
Podemos simplificar as constantes, já que
também é uma constante arbitrária.
Passo 7
Simplificando as constantes:
Agora, vamos resolver para
.
Passo 8
Isolando
:
Então,
Podemos escrever de forma mais simples:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.
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27.
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