Em cada um dos Problemas de 1 a 8, resolva a equação diferencial dada.
dy/dx = x^2 / (1 + y^2)

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial que é assim:
Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, especificamente sobre equações diferenciais. Vamos resolver essa equação usando o método de separação de variáveis, que ajuda a separar os termos com dos termos com para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis e . Para isso, movemos tudo que contém para um lado e tudo que contém para o outro. Multiplicando ambos os lados por e por , temos:

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados. A integração é o inverso da derivada e nos ajuda a encontrar a função em termos de .
Integrando o lado esquerdo:
Integrando o lado direito:
Aqui, e são constantes de integração que aparecem quando integramos.

Passo 4

Vamos igualar as duas integrais e combinar as constantes:
onde é uma nova constante.

Passo 5

Para simplificar, podemos multiplicar todos os termos por 3 para eliminar os denominadores:
Podemos renomear como apenas para facilitar:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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