Em cada um dos Problemas de 1 a 8, resolva a equação diferencial dada.
Passo 1
Então, a gente tem uma equação diferencial que é assim:
Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, especificamente sobre equações diferenciais. Vamos resolver essa equação usando o método de separação de variáveis, que ajuda a separar os termos com
dos termos com
para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis
e
. Para isso, movemos tudo que contém
para um lado e tudo que contém
para o outro. Multiplicando ambos os lados por
e por
, temos:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados. A integração é o inverso da derivada e nos ajuda a encontrar a função
em termos de
.
Integrando o lado esquerdo:
Integrando o lado direito:
Aqui,
e
são constantes de integração que aparecem quando integramos.
Passo 4
Vamos igualar as duas integrais e combinar as constantes:
onde
é uma nova constante.
Passo 5
Para simplificar, podemos multiplicar todos os termos por 3 para eliminar os denominadores:
Podemos renomear
como apenas
para facilitar:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.