Em cada um dos Problemas de 25 a 31, encontre um fator integrante e resolva a equaçâo.
30.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma equação diferencial encontrando um fator integrante. Estamos lidando com uma equação diferencial exata ou que pode ser tornada exata através de um fator integrante. Vamos identificar os termos da equação e preparar o que precisamos para resolver.
A equação dada é:
Precisaremos verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que a torne exata. Para isso, vamos lembrar que uma equação diferencial na forma é exata se:

Passo 2

Primeiro, vamos identificar e na nossa equação:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para verificar a exatidão:
Como , a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que depende apenas de ou .

Passo 3

Vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa apenas de . O fator integrante deve satisfazer:
Calculando o lado esquerdo:
Essa expressão depende de , o que sugere que o fator integrante não depende apenas de . Vamos tentar agora um fator integrante que dependa apenas de .

Passo 4

Vamos supor que o fator integrante depende apenas de . A condição para que a equação torne-se exata é:
Calculando:
Novamente, essa expressão depende de , indicando que o fator integrante não depende apenas de . Parece que precisamos buscar outra abordagem.

Passo 5

Vamos tentar encontrar um fator integrante que seja função de ou use uma combinação das variáveis. No entanto, isso pode ser complicado. Outra abordagem é reorganizar a equação para tentar separá-la em algo mais manejável.
Vamos dividir toda a equação por para simplificar:
Simplificando:
Isso ainda é complicado. Vamos reavaliar nossa estratégia.

Passo 6

Vamos tentar multiplicar a equa��ão original por um fator integrante que simplifique os termos. Suponhamos que . Nosso objetivo é escolher de forma que a equação resultante seja exata.
Multiplicando a equação por :
Vamos reescrever:
Queremos que essa nova equação seja exata, então:
Calculando as derivadas:
Igualando as derivadas:
Para que isso seja válido para todos os e , os coeficientes das potências de devem ser iguais. Observamos que o termo com só pode desaparecer se , ou seja, .

Passo 7

Então, o fator integrante é . Vamos multiplicar a equação original por :
Simplificando:
Agora, vamos verificar se a equação é exata:
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é exata!

Passo 8

Agora que a equação é exata, podemos encontrar uma função potencial tal que:
Integrando em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Igualando:
Integrando :
Então, a função potencial é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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(a)