Em cada um dos Problemas de 29 a 36 encontre a solução do problema de valor inicial dado e faça seu gráfico.
Como a solução se comporta quando ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de quarta ordem com algumas condições iniciais. O objetivo é resolver essa equação e ver como a solução se comporta quando vai para o infinito. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, equações características e como aplicar condições iniciais para encontrar os valores das constantes na solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que a gente tem:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de quarta ordem. Para resolver, vamos começar encontrando a equação característica associada.

Passo 3

A equação característica é obtida substituindo por . Então, a nossa equação característica fica:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de , que nos ajudarão a construir a solução geral.

Passo 4

Vamos fatorar a equação característica:
Isso nos dá duas raízes repetidas:

Passo 5

Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
Simplificando:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais fornecidas:
Para isso, precisamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:

Passo 7

Vamos agora substituir nas expressões de , , e :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 8

Vamos simplificar as equações:
  1. Primeira equação:
  1. Segunda equação:
  1. Terceira equação:
  1. Quarta equação:

Passo 9

Observamos que as duas últimas equações são múltiplas uma da outra. Vamos resolver a terceira equação:

Passo 10

Substituindo na segunda equação:

Passo 11

Agora, substituímos e na primeira equação:

Passo 12

Até aqui, temos:
Falta ainda determinar . Vamos usar a terceira equação para isso:
Isso não nos dá informação adicional, o que indica que pode ser qualquer valor. Porém, para termos uma solução única, podemos escolher .

Passo 13

Escolhendo :
Agora, temos todas as constantes:

Passo 14

Substituindo as constantes na solução geral:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é . Quando tende para o infinito, cresce linearmente, ou seja, à medida que .

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