Em cada um dos Problemas de 29 a 36 encontre a solução do problema de valor inicial dado e faça seu gráfico.
Como a solução se comporta quando t infty ?
y^(4)-4 y^prime prime prime+4 y^prime prime=0 ; y(1)=-1, y^prime(1)=2, y^prime prime(1)=0, y^prime prime prime(1)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de quarta ordem com algumas condições iniciais. O objetivo é resolver essa equação e ver como a solução se comporta quando vai para o infinito. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, equações características e como aplicar condições iniciais para encontrar os valores das constantes na solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que a gente tem:
y^(4) - 4 y''' + 4 y'' = 0
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de quarta ordem. Para resolver, vamos começar encontrando a equação característica associada.

Passo 3

A equação característica é obtida substituindo r^4 - 4 r^3 + 4 r^2 = 0 por . Então, a nossa equação característica fica:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de , que nos ajudarão a construir a solução geral.

Passo 4

Vamos fatorar a equação característica:
r^2 (r^2 - 4 r + 4) = 0
Isso nos dá duas raízes repetidas:
r = 0 (com mu

Passo 5

Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
y(t) = (C1 + C2 t) e^0 t + (C3 + C4 t) e^2 t
Simplificando:
y(t) = C1 + C2 t + (C3 + C4 t) e^2 t
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais fornecidas:
y(1) = -1 y'(1) = 2 y''(1) = 0 y'''(1) = 0
Para isso, precisamos calcular as derivadas de y'(t) = C2 + (C4 + 2 C3 + 2 C4 t) e^2 t :
Primeira derivada:
y''(t) = (2 C4 + 4 C3 + 4 C4 t) e^2 t
Segunda derivada:
y'''(t) = (4 C4 + 8 C3 + 8 C4 t) e^2 t
Terceira derivada:

Passo 7

Vamos agora substituir C1 + C2 (1) + (C3 + C4 (1)) e^2 = -1 nas expressões de C2 + (C4 + 2 C3 + 2 C4 (1)) e^2 = 2 , (2 C4 + 4 C3 + 4 C4 (1)) e^2 = 0 , (4 C4 + 8 C3 + 8 C4 (1)) e^2 = 0 e :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 8

Vamos simplificar as equações:
  1. Primeira equação:
C1 + C2 + (C3 + C4) e^2 = -1
  1. Segunda equação:
C2 + (C4 + 2 C3 + 2 C4) e^2 = 2 C2 + (2 C3 + 3 C4) e^2 = 2
  1. Terceira equação:
(2 C4 + 4 C3 + 4 C4) e^2 = 0 (4 C3 + 6 C4) e^2 = 0
  1. Quarta equação:
(4 C4 + 8 C3 + 8 C4) e^2 = 0 (8 C3 + 12 C4) e^2 = 0

Passo 9

Observamos que as duas últimas equações são múltiplas uma da outra. Vamos resolver a terceira equação:
4 C3 + 6 C4 = 0 2 C3 + 3 C4 = 0 C3 = -32 C4

Passo 10

Substituindo C2 + [2 (-32 C4) + 3 C4] e^2 = 2 C2 + (-3 C4 + 3 C4) e^2 = 2 C2 = 2 na segunda equação:

Passo 11

Agora, substituímos C1 + 2 + (-32 C4 + C4) e^2 = -1 C1 + 2 - 12 C4 e^2 = -1 C1 = -1 - 2 + 12 C4 e^2 C1 = -3 + 12 C4 e^2 e na primeira equação:

Passo 12

Até aqui, temos:
C2 = 2 C3 = -32 C4 C1 = -3 + 12 C4 e^2
Falta ainda determinar 2 C3 + 3 C4 = 0 2 (-32 C4) + 3 C4 = 0 -3 C4 + 3 C4 = 0 . Vamos usar a terceira equação para isso:
Isso não nos dá informação adicional, o que indica que pode ser qualquer valor. Porém, para termos uma solução única, podemos escolher .

Passo 13

Escolhendo C3 = -32 times 0 = 0 C1 = -3 + 12 times 0 times e^2 = -3 :
C1 = -3 C2 = 2 C3 = 0 C4 = 0
Agora, temos todas as constantes:

Passo 14

Substituindo as constantes na solução geral:
y(t) = -3 + 2 t + (0 + 0 times t) e^2 t y(t) = -3 + 2 t

Resposta

A solução do problema de valor inicial é . Quando tende para o infinito, cresce linearmente, ou seja, à medida que .

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