Em cada um dos Problemas de 29 a 36 encontre a solução do problema de valor inicial dado e faça seu gráfico.
Como a solução se comporta quando
?
Como a solução se comporta quando
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de quarta ordem com algumas condições iniciais. O objetivo é resolver essa equação e ver como a solução se comporta quando
vai para o infinito. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, equações características e como aplicar condições iniciais para encontrar os valores das constantes na solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que a gente tem:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de quarta ordem. Para resolver, vamos começar encontrando a equação característica associada.
Passo 3
A equação característica é obtida substituindo
por
. Então, a nossa equação característica fica:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
, que nos ajudarão a construir a solução geral.
Passo 4
Vamos fatorar a equação característica:
Isso nos dá duas raízes repetidas:
Passo 5
Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
Simplificando:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 6
Agora, vamos aplicar as condições iniciais fornecidas:
Para isso, precisamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Passo 7
Vamos agora substituir
nas expressões de
,
,
e
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 8
Vamos simplificar as equações:
- Primeira equação:
- Segunda equação:
- Terceira equação:
- Quarta equação:
Passo 9
Observamos que as duas últimas equações são múltiplas uma da outra. Vamos resolver a terceira equação:
Passo 10
Substituindo
na segunda equação:
Passo 11
Agora, substituímos
e
na primeira equação:
Passo 12
Até aqui, temos:
Falta ainda determinar
. Vamos usar a terceira equação para isso:
Isso não nos dá informação adicional, o que indica que
pode ser qualquer valor. Porém, para termos uma solução única, podemos escolher
.
Passo 13
Escolhendo
:
Agora, temos todas as constantes:
Passo 14
Substituindo as constantes na solução geral:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é
. Quando
tende para o infinito,
cresce linearmente, ou seja,
à medida que
.
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