Esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida nos seguintes itens:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede para esboçar a região de integração de uma integral dupla e, em seguida, escrever uma integral equivalente com a ordem de integração invertida. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Multivariável, especificamente sobre integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como interpretar os limites de integração atuais e descobrir como inverter essa ordem de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a integral original:
Aqui,
varia de 0 a 1, e para cada valor de
,
varia de 1 até
. Vamos esboçar essa região no plano
.
Passo 3
Vamos desenhar o plano
. No eixo
, temos
variando de 0 a 1. Para cada
,
começa em 1 e vai até
. A curva
é uma exponencial que passa por (0,1) e cresce rapidamente.
Então, a região de integração é limitada por:
-
de 0 a 1, -
de 1 a .
Passo 4
Agora, vamos inverter a ordem de integração. Para isso, precisamos expressar
em termos de
. Observando a curva
, podemos resolver para
:
Agora, determinamos os novos limites:
-
varia de 1 a , - Para cada
, varia de 0 até .
Passo 5
Com os novos limites, podemos escrever a integral dupla com a ordem de integração invertida:
Resposta
A integral dupla com a ordem de integração invertida é:
Exercícios relacionados
Esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida nos seguintes itens:
Esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida nos seguintes itens:
Esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida nos seguintes itens:
Em cada um dos Problemas de 29 a 36 encontre a solução do problema de valor inicial dado e faça seu gráfico.
Como a solução se comporta quando ?
Como a solução se comporta quando