Esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida nos seguintes itens: integral0^1 integral1^e^x d y d x

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede para esboçar a região de integração de uma integral dupla e, em seguida, escrever uma integral equivalente com a ordem de integração invertida. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Multivariável, especificamente sobre integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como interpretar os limites de integração atuais e descobrir como inverter essa ordem de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral original:
integral0^1 integral1^e^x dy , dx
Aqui, varia de 0 a 1, e para cada valor de , varia de 1 até . Vamos esboçar essa região no plano .

Passo 3

Vamos desenhar o plano . No eixo , temos variando de 0 a 1. Para cada , começa em 1 e vai até . A curva é uma exponencial que passa por (0,1) e cresce rapidamente.
Então, a região de integração é limitada por:
  • de 0 a 1,
  • de 1 a .

Passo 4

Agora, vamos inverter a ordem de integração. Para isso, precisamos expressar x = ln(y) em termos de . Observando a curva , podemos resolver para :
Agora, determinamos os novos limites:
  • varia de 1 a ,
  • Para cada , varia de 0 até .

Passo 5

Com os novos limites, podemos escrever a integral dupla com a ordem de integração invertida:
integral1^e integral0^ln(y) dx , dy

Resposta

A integral dupla com a ordem de integração invertida é:
integral1^e integral0^ln(y) dx , dy

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