Em cada um dos Problemas de 29 a 36 encontre a solução do problema de valor inicial dado e faça seu gráfico.
Como a solução se comporta quando
?
Como a solução se comporta quando
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de quarta ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e aplicar as condições iniciais dadas. Além disso, vamos analisar como a solução se comporta quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que temos:
Essa é uma EDO linear homogênea de quarta ordem. Para resolver, precisamos encontrar as raízes da equação característica associada.
Passo 3
A equação característica é obtida substituindo
por
. Então, temos:
Vamos tentar fatorar esse polinômio para encontrar as raízes.
Passo 4
Tentando fatores simples, percebo que o polinômio pode ser fatorado da seguinte maneira:
Agora, vamos resolver cada fator separadamente.
Passo 5
Primeiro, resolvemos
:
Em seguida, resolvemos
:
Passo 6
Agora, com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da EDO:
Aqui,
,
,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 7
Aplicando as condições iniciais:
Vamos derivar
e substituir
para obter um sistema de equações que nos ajudará a encontrar
,
,
e
.
Passo 8
Após calcular as derivadas e substituir
, resolvemos o sistema de equações e encontramos:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Quando
, as funções
e
tendem a zero. Portanto, a solução
também tende a zero.
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