Em cada um dos Problemas de 29 a 36 encontre a solução do problema de valor inicial dado e faça seu gráfico.
Como a solução se comporta quando ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de quarta ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e aplicar as condições iniciais dadas. Além disso, vamos analisar como a solução se comporta quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que temos:
Essa é uma EDO linear homogênea de quarta ordem. Para resolver, precisamos encontrar as raízes da equação característica associada.

Passo 3

A equação característica é obtida substituindo por . Então, temos:
Vamos tentar fatorar esse polinômio para encontrar as raízes.

Passo 4

Tentando fatores simples, percebo que o polinômio pode ser fatorado da seguinte maneira:
Agora, vamos resolver cada fator separadamente.

Passo 5

Primeiro, resolvemos :
Em seguida, resolvemos :

Passo 6

Agora, com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da EDO:
Aqui, , , e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 7

Aplicando as condições iniciais:
Vamos derivar e substituir para obter um sistema de equações que nos ajudará a encontrar , , e .

Passo 8

Após calcular as derivadas e substituir , resolvemos o sistema de equações e encontramos:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
Quando , as funções e tendem a zero. Portanto, a solução também tende a zero.

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