Em cada um dos Problemas de 29 a 36 encontre a solução do problema de valor inicial dado e faça seu gráfico.
Como a solução se comporta quando t infty ?
y^(4)+6 y^prime prime prime+17 y^prime prime+22 y^prime+14 y=0 ; y(0)=1, y^prime(0)=-2, y^prime prime(0)=0, y^prime prime prime(0)=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de quarta ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e aplicar as condições iniciais dadas. Além disso, vamos analisar como a solução se comporta quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que temos:
y^(4) + 6y''' + 17y'' + 22y' + 14y = 0
Essa é uma EDO linear homogênea de quarta ordem. Para resolver, precisamos encontrar as raízes da equação característica associada.

Passo 3

A equação característica é obtida substituindo r^4 + 6r^3 + 17r^2 + 22r + 14 = 0 por . Então, temos:
Vamos tentar fatorar esse polinômio para encontrar as raízes.

Passo 4

Tentando fatores simples, percebo que o polinômio pode ser fatorado da seguinte maneira:
(r^2 + 2r + 2)(r^2 + 4r + 7) = 0
Agora, vamos resolver cada fator separadamente.

Passo 5

Primeiro, resolvemos r = -2 pm raiz(2)^2 - 4 times 1 times 22 = -1 pm i :
r = -4 pm raiz(4)^2 - 4 times 1 times 72 = -2 pm iraiz3
Em seguida, resolvemos :

Passo 6

Agora, com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da EDO:
y(t) = e^-t(A cos t + B sin t) + e^-2t(C cos(raiz3 t) + D sin(raiz3 t))
Aqui, , , e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 7

Aplicando as condições iniciais:
y(0) = 1, y'(0) = -2, y''(0) = 0, y'''(0) = 3
Vamos derivar e substituir para obter um sistema de equações que nos ajudará a encontrar , , e .

Passo 8

Após calcular as derivadas e substituir A = 32, B = 12, C = 12, D = -12 , resolvemos o sistema de equações e encontramos:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(t) = e^-t(32 cos t + 12 sin t) + e^-2t(12 cos(raiz3 t) - 12 sin(raiz3 t))
Quando , as funções e tendem a zero. Portanto, a solução também tende a zero.

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