Esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida nos seguintes itens:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo sobre integrais duplas. O que a gente precisa fazer aqui é desenhar a região onde vamos integrar e depois reescrever a integral mudando a ordem de integração. O enunciado é:
Aqui, estamos integrando a função
sobre uma determinada região no plano
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Observando os limites de integração:
-
varia de 0 a 1. - Para cada
, varia de a .
Isso descreve a parte superior do círculo unitário (já que
) no primeiro e quarto quadrantes, mas como
só vai de 0 a 1, estamos olhando apenas para a parte de cima do círculo, do meio até o ponto
.
Passo 3
Agora, para inverter a ordem de integração, precisamos expressar
em termos de
. Vamos determinar os novos limites:
- Primeiro,
varia de a (pois o círculo tem raio 1). - Para cada
, varia de 0 até .
Isso porque para cada valor de
,
começa no eixo
(
) e vai até a borda do círculo (
).
Passo 4
Com os novos limites definidos, podemos escrever a integral com a ordem de integração invertida. Mantendo a função
e ajustando os limites:
Resposta
A integral dupla com a ordem de integração invertida é:
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