Esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida nos seguintes itens:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo sobre integrais duplas. O que a gente precisa fazer aqui é desenhar a região onde vamos integrar e depois reescrever a integral mudando a ordem de integração. O enunciado é:
Aqui, estamos integrando a função sobre uma determinada região no plano .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Observando os limites de integração:
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada , varia de a .
Isso descreve a parte superior do círculo unitário (já que ) no primeiro e quarto quadrantes, mas como só vai de 0 a 1, estamos olhando apenas para a parte de cima do círculo, do meio até o ponto .

Passo 3

Agora, para inverter a ordem de integração, precisamos expressar em termos de . Vamos determinar os novos limites:
  • Primeiro, varia de a (pois o círculo tem raio 1).
  • Para cada , varia de 0 até .
Isso porque para cada valor de , começa no eixo ( ) e vai até a borda do círculo ( ).

Passo 4

Com os novos limites definidos, podemos escrever a integral com a ordem de integração invertida. Mantendo a função e ajustando os limites:

Resposta

A integral dupla com a ordem de integração invertida é:

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Em cada um dos Problemas de 29 a 36 encontre a solução do problema de valor inicial dado e faça seu gráfico.
Como a solução se comporta quando ?
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