Em cada um dos Problemas de 29 a 36 encontre a solução do problema de valor inicial dado e faça seu gráfico.
Como a solução se comporta quando
?
Como a solução se comporta quando
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um problema de equação diferencial ordinária de terceiro grau com condições iniciais. A matéria que vamos usar é a resolução de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver esse problema, precisamos encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para determinar as constantes específicas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial dada:
Aqui,
representa a terceira derivada de
em relação a
,
a primeira derivada, e
a função original.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos encontrar a equação característica associada. Substituímos
por
, onde
é uma constante, e obtemos:
Agora, precisamos encontrar as raízes dessa equação cúbica.
Passo 4
Vamos tentar encontrar pelo menos uma raiz real da equação característica. Testando alguns valores, vemos que
satisfaz a equação:
Então,
é uma raiz. Agora, podemos fatorar a equação cúbica usando essa raiz:
Passo 5
Agora, resolvemos a equação quadrática restante:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Simplificando:
Então, as raízes são
e
.
Passo 6
Com essas raízes, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
Aqui,
,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 7
Vamos aplicar as condições iniciais:
-
:
-
:
Primeiro, derivamos:
Avaliando em
:
-
:
Derivando novamente:
Avaliando em
:
Passo 8
Agora, temos um sistema de três equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos:
- De 1:
- Substituindo em 2:
- Substituindo em 3:
Agora, resolvendo o sistema:
Somando as duas equações:
Então,
e substituindo em uma das equações:
Passo 9
Agora que temos as constantes, podemos escrever a solução específica:
Simplificando:
Passo 10
Para fazer o gráfico, observamos que a solução é a soma de duas partes:
-
: uma função exponencial decrescente. -
: uma função oscilatória com amplitude crescente devido ao termo exponencial .
Isso significa que, conforme
aumenta, a parte oscilatória domina e a função oscila com amplitude aumentando.
Passo 11
Comportamento quando
:
Enquanto a parte
tende a zero, a parte
cresce sem limites devido ao termo exponencial. Portanto, quando
vai para o infinito, a solução
cresce indefinidamente com oscilações cada vez maiores.
Resposta
A solução do problema é:
Quando
, a solução cresce sem limites devido ao termo exponencial
, fazendo com que
oscile com amplitude cada vez maior.