Em cada um dos Problemas de 29 a 36 encontre a solução do problema de valor inicial dado e faça seu gráfico.
Como a solução se comporta quando
?
Como a solução se comporta quando
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um problema de equação diferencial ordinária de terceiro grau com condições iniciais. A matéria que vamos usar é a resolução de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver esse problema, precisamos encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para determinar as constantes específicas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial dada:
Aqui,
representa a terceira derivada de
em relação a
,
a primeira derivada, e
a função original.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos encontrar a equação característica associada. Substituímos
por
, onde
é uma constante, e obtemos:
Agora, precisamos encontrar as raízes dessa equação cúbica.
Passo 4
Vamos tentar encontrar pelo menos uma raiz real da equação característica. Testando alguns valores, vemos que
satisfaz a equação:
Então,
é uma raiz. Agora, podemos fatorar a equação cúbica usando essa raiz:
Passo 5
Agora, resolvemos a equação quadrática restante:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Simplificando:
Então, as raízes são
e
.
Passo 6
Com essas raízes, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
Aqui,
,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 7
Vamos aplicar as condições iniciais:
-
:
-
:
Primeiro, derivamos:
Avaliando em
:
-
:
Derivando novamente:
Avaliando em
:
Passo 8
Agora, temos um sistema de três equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos:
- De 1:
- Substituindo em 2:
- Substituindo em 3:
Agora, resolvendo o sistema:
Somando as duas equações:
Então,
e substituindo em uma das equações:
Passo 9
Agora que temos as constantes, podemos escrever a solução específica:
Simplificando:
Passo 10
Para fazer o gráfico, observamos que a solução é a soma de duas partes:
-
: uma função exponencial decrescente. -
: uma função oscilatória com amplitude crescente devido ao termo exponencial .
Isso significa que, conforme
aumenta, a parte oscilatória domina e a função oscila com amplitude aumentando.
Passo 11
Comportamento quando
:
Enquanto a parte
tende a zero, a parte
cresce sem limites devido ao termo exponencial. Portanto, quando
vai para o infinito, a solução
cresce indefinidamente com oscilações cada vez maiores.
Resposta
A solução do problema é:
Quando
, a solução cresce sem limites devido ao termo exponencial
, fazendo com que
oscile com amplitude cada vez maior.
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Como a solução se comporta quando <span class="math-inline ">
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<span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“84.738ex” height=“2.587ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -893.3 37454.4 1143.3”><title>y^(4) + 6 y’’’ + 17 y’’ + 22 y’ + 14 y = 0 ; y(0) = 1, y’(0) = -2, y’’(0) = 0, y’’’(0) = 3</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“msup”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D466” d=“M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 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Como a solução se comporta quando <span class="math-inline ">
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<html><head></head><body><div>Em cada um dos Problemas de 29 a 36 encontre a solução do problema de valor inicial dado e faça seu gráfico.<br>
Como a solução se comporta quando <span class="math-inline ">
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Como a solução se comporta quando <span class="math-inline ">
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</body></html>
<html><head></head><body><div>Em cada um dos Problemas de 29 a 36 encontre a solução do problema de valor inicial dado e faça seu gráfico.<br>
Como a solução se comporta quando <span class="math-inline ">
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Como a solução se comporta quando <span class="math-inline ">
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<span class="math-inline ">
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</body></html>
<html><head></head><body><div>Em cada um dos Problemas de 29 a 36 encontre a solução do problema de valor inicial dado e faça seu gráfico.<br>
Como a solução se comporta quando <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.025ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“6.599ex” height=“1.441ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -626 2916.6 637”><title>t -> infinito</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D461” d=“M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(638.8,0)”><path data-c=“2192” d=“M56 237T56 250T70 270H835Q719 357 692 493Q692 494 692 496T691 499Q691 511 708 511H711Q720 511 723 510T729 506T732 497T735 481T743 456Q765 389 816 336T935 261Q944 258 944 250Q944 244 939 241T915 231T877 212Q836 186 806 152T761 85T740 35T732 4Q730 -6 727 -8T711 -11Q691 -11 691 0Q691 7 696 25Q728 151 835 230H70Q56 237 56 250Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(1916.6,0)”><path data-c=“221E” d=“M55 217Q55 305 111 373T254 442Q342 442 419 381Q457 350 493 303L507 284L514 294Q618 442 747 442Q833 442 888 374T944 214Q944 128 889 59T743 -11Q657 -11 580 50Q542 81 506 128L492 147L485 137Q381 -11 252 -11Q166 -11 111 57T55 217ZM907 217Q907 285 869 341T761 397Q740 397 720 392T682 378T648 359T619 335T594 310T574 285T559 263T548 246L543 238L574 198Q605 158 622 138T664 94T714 61T765 51Q827 51 867 100T907 217ZM92 214Q92 145 131 89T239 33Q357 33 456 193L425 233Q364 312 334 337Q285 380 233 380Q171 380 132 331T92 214Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> ?<br>
<span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“83.105ex” height=“2.587ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -893.3 36732.4 1143.3”><title>2 y(4) - y’’’ - 9 y’’ + 4 y’ + 4 y = 0 ; y(0) = -2, y’(0) = 0, y’’(0) = -2, y’’’(0) = 0</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“32” d=“M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z”></path></g><g data-mml-node=“msup” transform=“translate(500,0)”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D466” d=“M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” transform=“translate(523,363) scale(0.707)” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mo”><path data-c=“28” d=“M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 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Como a solução se comporta quando <span class="math-inline ">
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<span class="math-inline ">
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