Em cada um dos Problemas de 29 a 36 encontre a solução do problema de valor inicial dado e faça seu gráfico.
Como a solução se comporta quando t -> infinito ?
4 y''' + y' + 5 y = 0 ; y(0) = 2 ; y'(0) = 1 ; y''(0) = -1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um problema de equação diferencial ordinária de terceiro grau com condições iniciais. A matéria que vamos usar é a resolução de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver esse problema, precisamos encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para determinar as constantes específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial dada:
Aqui, representa a terceira derivada de em relação a , a primeira derivada, e a função original.

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos encontrar a equação característica associada. Substituímos por , onde é uma constante, e obtemos:
Agora, precisamos encontrar as raízes dessa equação cúbica.

Passo 4

Vamos tentar encontrar pelo menos uma raiz real da equação característica. Testando alguns valores, vemos que satisfaz a equação:
Então, é uma raiz. Agora, podemos fatorar a equação cúbica usando essa raiz:

Passo 5

Agora, resolvemos a equação quadrática restante:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Simplificando:
Então, as raízes são e .

Passo 6

Com essas raízes, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
Aqui, , e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 7

Vamos aplicar as condições iniciais:
  1. :
  1. :
    Primeiro, derivamos :
Avaliando em :
  1. :
    Derivando novamente:
Avaliando em :

Passo 8

Agora, temos um sistema de três equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos:
  • De 1:
  • Substituindo em 2:
  • Substituindo em 3:
Agora, resolvendo o sistema:
Somando as duas equações:
Então, e substituindo em uma das equações:

Passo 9

Agora que temos as constantes, podemos escrever a solução específica:
Simplificando:

Passo 10

Para fazer o gráfico, observamos que a solução é a soma de duas partes:
  1. : uma função exponencial decrescente.
  2. : uma função oscilatória com amplitude crescente devido ao termo exponencial .
Isso significa que, conforme aumenta, a parte oscilatória domina e a função oscila com amplitude aumentando.

Passo 11

Comportamento quando :
Enquanto a parte tende a zero, a parte cresce sem limites devido ao termo exponencial. Portanto, quando vai para o infinito, a solução cresce indefinidamente com oscilações cada vez maiores.

Resposta

A solução do problema é:
Quando , a solução cresce sem limites devido ao termo exponencial , fazendo com que oscile com amplitude cada vez maior.

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