Em cada um dos Problemas de 29 a 36 encontre a solução do problema de valor inicial dado e faça seu gráfico.
Como a solução se comporta quando ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial que envolve derivadas de terceira ordem. A gente vai precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais com coeficientes constantes e condições iniciais. Basicamente, nosso objetivo aqui é encontrar a função que satisfaz a equação dada e as condições iniciais apresentadas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que temos:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes. Para resolver, a gente começa encontrando a equação característica associada.
Passo 3
A equação característica é obtida substituindo na equação diferencial. Fazendo isso, temos:
Agora, precisamos encontrar as raízes dessa equação polinomial.
Passo 4
Vamos tentar fatorar o polinômio . Percebemos que é uma raiz, pois:
Então, podemos fatorar e dividir o polinômio:
Isso nos dá as raízes e (já que ).
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, , e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 6
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de , e .
Para :
Primeira derivada:
Aplicando :
Segunda derivada:
Aplicando :
Passo 7
Agora temos um sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
Então,
Da segunda equação:
Passo 8
Com os valores das constantes, a solução particular fica:
Passo 9
Agora, vamos analisar o comportamento de quando . Como a solução é uma combinação de funções trigonométricas ( e ), que são funções periódicas limitadas, a solução também será periódica e não crescerá sem limites. Ou seja, oscila de forma estável conforme aumenta e não tende a infinito.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Quando , a solução permanece oscilando de forma estável sem crescer ou decair, mantendo uma amplitude constante.