Em cada um dos Problemas de 29 a 36 encontre a solução do problema de valor inicial dado e faça seu gráfico.
Como a solução se comporta quando t -> infinito ?
y''' - y'' + y' - y = 0 ; y(0) = 2, y'(0) = -1, y''(0) = -2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial que envolve derivadas de terceira ordem. A gente vai precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais com coeficientes constantes e condições iniciais. Basicamente, nosso objetivo aqui é encontrar a função que satisfaz a equação dada e as condições iniciais apresentadas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que temos:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes. Para resolver, a gente começa encontrando a equação característica associada.

Passo 3

A equação característica é obtida substituindo na equação diferencial. Fazendo isso, temos:
Agora, precisamos encontrar as raízes dessa equação polinomial.

Passo 4

Vamos tentar fatorar o polinômio . Percebemos que é uma raiz, pois:
Então, podemos fatorar e dividir o polinômio:
Isso nos dá as raízes e (já que ).

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, , e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de , e .
  1. Para :
  1. Primeira derivada:
Aplicando :
  1. Segunda derivada:
Aplicando :

Passo 7

Agora temos um sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
  • Da terceira equação:
  • Substituindo na primeira equação:
  • Então,
  • Da segunda equação:

Passo 8

Com os valores das constantes, a solução particular fica:

Passo 9

Agora, vamos analisar o comportamento de quando . Como a solução é uma combinação de funções trigonométricas ( e ), que são funções periódicas limitadas, a solução também será periódica e não crescerá sem limites. Ou seja, oscila de forma estável conforme aumenta e não tende a infinito.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
Quando , a solução permanece oscilando de forma estável sem crescer ou decair, mantendo uma amplitude constante.

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