Em cada um dos Problemas de 29 a 36 encontre a solução do problema de valor inicial dado e faça seu gráfico.
Como a solução se comporta quando ?
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver uma equação diferencial de valor inicial de quarta ordem e depois analisar como a solução se comporta quando o tempo vai para o infinito. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares e equações características. Vamos precisar encontrar a solução geral da equação e aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Primeiro, precisamos escrever a equação diferencial que temos:
Como essa é uma equação linear de quarta ordem com coeficientes constantes, vamos resolver encontrando as raízes da equação característica.
Passo 3
A equação característica associada à nossa equação diferencial é obtida substituindo , o que nos dá:
Agora, precisamos encontrar as raízes dessa equação polinomial de quarto grau.
Passo 4
Vamos tentar encontrar raízes racionais primeiro usando o Teorema das Raízes Racionais. Testando :
Então, é uma raiz. Podemos fatorar da equação polinomial:
Passo 5
Agora, vamos resolver o polinômio de terceiro grau . Testando :
Então, também é uma raiz. Fatorando :
Passo 6
Agora, resolvemos o polinômio quadrático usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, as raízes são:
Passo 7
Com todas as raízes da equação característica (, , e ), podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
Agora, aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes , , e :
Após resolver o sistema, encontramos os valores das constantes, o que nos dá a solução específica para o problema.
Resposta
Quando t infty, os termos e^t e e^2t na solução tornam-se cada vez maiores, fazendo com que a solução y(t)tende ao infinito. Portanto, a solução cresce exponencialmente conforme o tempo aumenta.