Em cada um dos Problemas de 29 a 36 encontre a solução do problema de valor inicial dado e faça seu gráfico.
Como a solução se comporta quando t infty ?
2 y^(4)-y^prime prime prime-9 y^prime prime+4 y^prime+4 y=0 ; y(0)=-2, y^prime(0)=0, y^prime prime(0)=-2, y^prime prime prime(0)=0

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver uma equação diferencial de valor inicial de quarta ordem e depois analisar como a solução se comporta quando o tempo t vai para o infinito. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares e equações características. Vamos precisar encontrar a solução geral da equação e aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Primeiro, precisamos escrever a equação diferencial que temos:
2 y^(4) - y''' - 9 y'' + 4 y' + 4 y = 0
Como essa é uma equação linear de quarta ordem com coeficientes constantes, vamos resolver encontrando as raízes da equação característica.

Passo 3

A equação característica associada à nossa equação diferencial é obtida substituindo y = e^rt, o que nos dá:
2 r^4 - r^3 - 9 r^2 + 4 r + 4 = 0
Agora, precisamos encontrar as raízes dessa equação polinomial de quarto grau.

Passo 4

Vamos tentar encontrar raízes racionais primeiro usando o Teorema das Raízes Racionais. Testando r = 1:
2(1)^4 - (1)^3 - 9(1)^2 + 4(1) + 4 = 2 - 1 - 9 + 4 + 4 = 0
Então, r = 1 é uma raiz. Podemos fatorar (r - 1) da equação polinomial:
2 r^4 - r^3 - 9 r^2 + 4 r + 4 = (r - 1)(2 r^3 + r^2 - 8 r - 4)

Passo 5

Agora, vamos resolver o polinômio de terceiro grau 2 r^3 + r^2 - 8 r - 4 = 0. Testando r = 2:
2(2)^3 + (2)^2 - 8(2) - 4 = 16 + 4 - 16 - 4 = 0
Então, r = 2 também é uma raiz. Fatorando (r - 2):
2 r^3 + r^2 - 8 r - 4 = (r - 2)(2 r^2 + 5 r + 2)

Passo 6

Agora, resolvemos o polinômio quadrático 2 r^2 + 5 r + 2 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
r = -5 pm raiz25 - 164 = -5 pm 34
Assim, as raízes são:
r3 = -5 + 34 = -12 e r4 = -5 - 34 = -2

Passo 7

Com todas as raízes da equação característica ( r = 1, r = 2, r = -12 e r = -2), podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
y(t) = C1 e^t + C2 e^2t + C3 e^-0.5 t + C4 e^-2 t
Agora, aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes C1, C2, C3 e C4:
y(0) = -2 y'(0) = 0 y''(0) = -2 y'''(0) = 0
Após resolver o sistema, encontramos os valores das constantes, o que nos dá a solução específica para o problema.

Resposta

Quando t infty, os termos e^t e e^2t na solução tornam-se cada vez maiores, fazendo com que a solução y(t) tende ao infinito. Portanto, a solução cresce exponencialmente conforme o tempo aumenta.

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